Policy Gradient

一、介绍

回顾以下以前 value-based的方法：在value-based方法中，他们都是去学习一个动作的价值函数，然后根据这个动作的价值函数作出下一步选择。以至于这个方法高度依赖动作价值函数，如果没有动作价值函数，也就不知道如何为下一步作出抉择。
在本文中，我们提出一种新的想法来解决Reinforcement Learning 中的决策问题。即直接去训练这么一个策略，它能直接给出下一步动作是什么。当然，这个策略肯定是带参数的。我们最直接的目标就是优化策略的参数，使之能够很好的做出准确的决策。换句话说，以前 value-based方法是找出每一个状态下的每一个动作的价值函数，而 Policy Gradient 的方法是找出每一个状态下该采取哪个动作的函数。前者是 状态动作到价值的映射，后者是状态到动作的映射。显然后者更简单粗暴点。后者这种方法就叫做policy-based.

为了表示出Policy Gradient中的策略，我们记 $\theta$ 为策略的参数向量。因此策略可以用如下概率表示：
π(a∣s,θ)=Pr{At=a∣Ss,θt=θ}\pi(a|s, \theta) = Pr\{A_t = a | S_s, \theta_t = \theta\}π(a∣s,θ)=Pr{At​=a∣Ss​,θt​=θ}

即在时间 t 时，在状态 s 下选取某一个动作的概率。
实际上，我们定义了一个某一个状态下关于动作的概率分布。有了这个概率分布，决策时在这个分布中采样就可以了。

当然policy gradient 也可以处理连续空间问题，如下图所示，但本文主要以离散动作空间做例子：

二、优化策略

OK,那问题来了，策略 $\pi (a|s,\theta )$ 有了，该怎么优化这个策略呢？如果能找到最优的策略，那不管环境给你怎样的状态，我们都能从策略中得到当前状态下关于动作的分布，最后采样结果就是抉择的结果。但是前提是这个策略是靠谱的，所以我们下面研究如何优化这个策略。

这里要提出一个优化方法：梯度下降。

首先，我们要有一个衡量策略结果好坏的函数，把它叫做目标函数，记 $J(\theta )$，其中$\theta$是参数向量。这个目标函数值越大，说明我们的策略越好，反之越差。所以实际上问题就转化为最大化目标函数。而最大化该函数的方法就是用梯度下降。
应用梯度下降方法求解最大化函数问题，简单地讲就是求偏导，最后的参数更新有如下形式：
$${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha \nabla J({\theta }_t)$$

这个一个非常一般的一种形式，不同的目标函数催生出不同的算法。但是，只要可以表示成上面这种形式的表达式，都属于 Policy Gradient 方法。

那么，该怎么计算 $\nabla J(\theta )$ 以及 π(a∣s,θ)=Pr{At=a∣Ss,θt=θ}\pi(a|s, \theta) = Pr\{A_t = a | S_s, \theta_t = \theta\}π(a∣s,θ)=Pr{At​=a∣Ss​,θt​=θ}呢？
实际上，这两个的计算方法都依赖于其本身的定义。例如：对于离散动作空间下，策略$\pi$可以用 soft-max 分布表示
$$\pi (a|s,\theta )=\frac{e^{h(s,a,\theta )}}{{\sum }_b{e}^{h(s,b,\theta )}}$$
其中$h(s,a,\theta )$是状态-动作对的参数化表示，可以用一个神经网络去近似它：
$$h(s,a,\theta )={\theta }^{T}x(s,a)$$
其中 $\theta$ 是网络中去权重的向量，$x(s,a)$表示状态和动作的特征。

至于如何计算 $\nabla J(\theta )$? 计算前必须先定义好 $J(\theta )$。假设环境能产生一段完整的 episode, 那么我们可以用初始状态的价值去表示目标函数：
$$J(\theta )=v_{{\pi }_{\theta }}(s_0)$$

对$J(\theta )=v_{{\pi }_{\theta }}(s_0)$ 求偏导，其偏导结果有定理Policy Gradient Theorem给出

有了上面的求导结果，就可以导出第一个 policy-gradient 算法了：Monte Carlo Policy Gradient
从上面公式看，$\nabla J(\theta )$ 结果与 $\sum \mu (s){\sum }_a\nabla \pi (a|s)q_{\pi }(s,a)$ 成正比，进一步写成：
$$\nabla J(\theta )\propto \sum \mu (s)\sum _a\nabla \pi (a|s)q_{\pi }(s,a)$$
$$=E_{\pi }[\sum _a{q}_{\pi }(S_t,a)\nabla \pi (a|S_t,\theta )]$$
实际上我们可以把$\nabla J(\theta )$ 和 $\sum \mu (s){\sum }_a\nabla \pi (a|s)q_{\pi }(s,a)$ 之间画上等号，因为我们在更新参数 $\theta$ 的时候会乘上一个学习数率$\alpha$，这个参数可以消去这两个项之间的比例系数。所以，放心画上等号后：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \nabla J(\thet…

现在就能导出 monte carlo 的 policy gradient 的更新公式了：
$${\theta }_{(}t+1)={\theta }_t+\alpha G_t\nabla \pi (A_t|S_t,\theta )$$

三、算法框架

1. 初始化状态 $s_0$
2. 将状态 $s_0$ 传入 RL 算法，得到各个动作的概率
3. 根据概率分布采样，得到下一步动作 $a_0$
4. 环境对 Agent 作出的动作 $a_0$ 给予相应的奖励 $r_1$, Agent 到达下一个状态 $s_1$

经过上面步骤后，得到数据集： {s0,a0,r1,s1}\{s_0, a_0, r_1, s_1\}{s0​,a0​,r1​,s1​}, 如果 $a_0$ 不是终止动作，上面的步骤还必须继续进行，直到遇到终止动作，一段 episode 就说是结束了。

最后收集的数据: {s0,a0,r1,s1,a1,r2,s2,......,sT−1,aT−1,rT,sT}\{ s_0, a_0, r_1, s_1, a_1, r_2, s_2 , ... ..., s_{T-1}, a_{T-1}, r_T, s_T \}{s0​,a0​,r1​,s1​,a1​,r2​,s2​,......,sT−1​,aT−1​,rT​,sT​}

有了数据后才进行算法的更新。

这是 sutton 的《Reinforcement learning 》书中所叙的算法。下面再贴上 Devil 的算法：

这两个算法差别不大，可以说基本差不多。注意 Devil 版本的算法中的更新公式中有一项是$v_t$,这个$v_t$实际上还是用$G_t$去估计。