IBM ponder this october 2012 骰子等价问题~多项式

导师在例会上出的思考题。。

原题翻译：有7个骰子都不一样，分别能丢出

1. 能丢出1-4    4项

2.能丢出1-6     6项

3. 能丢出1-8    8项

4.能丢出0-9     10项

5. 能丢出0-9    10项

6.能丢出1-12   12项

7. 能丢出1-20   20项

每个骰子丢出一次，对他们的和进行一个概率分布统计。现有4个120个面的未经设计的骰子，每个面都可以设定数值1-17。设想一种设计，使得用4个120面丢出的概率分布和原来用7个骰子丢出的一样。

首先，例如两个6面骰子投出的点数和的概率分布，可以用一个36面的骰子模拟。

将骰子建立一个多项式模型，比如最常见的6面骰子，用多项式(x+x^2+x^3+....+x^6) 表示，a*x^b 中表示有a个面的点数为b。两个6面骰子投出的点数和的概率分布则可以表示为

(x+x^2+x^3+....+x^6)*(x+x^2+x^3+....+x^6) = x^2+2x^3+........+x^12  (系数和为36，可用36面骰子模拟，如有2个面点数为3,，当然也可以用72面骰子模拟)。又(x+x^2+x^3+....+x^6) = (x+x^2)*(1+x^2+x^4) 可知6面骰子可用一个2面标为0、1和3面标为0、1、4的骰子丢出的点数之和模拟其概率分布。

则具体到本题，可以先写出多项式模型，然后转换成4个120面骰子的多项式的乘积，每个多项式中，x的次数最高为17。

(x+x^2+x^3+x^4)*(x+x^2+x^3+....+x^6)*(x+x^2+x^3+....+x^8)*(1+x+x^2+x^3+....+x^9)*(1+x+x^2+x^3+....+x^9)*(x+x^2+x^3+....+x^12)*(x+x^2+x^3+....+x^20)

考虑将某些多项式分解再合并，使其能被120面骰子的多项式等价表示，某几个骰子能用120面骰子模拟的限制条件有两个。

a.这些骰子的项数之积能被120整除

b.这些骰子展开式的最高项次数不能超过17

本题共有 4*6*8*10*10*12*20 = 2^12 *3^2 *5^3  需要将其分解成正好的4份都能被120整除的项，而120=2^3*3*5 。可知道每份都能被2^3整除（否则2^12这个因子分不完），而其中3份都能被2^3*5 = 40整除。基于这样的思想，可考虑分解以上多项式。如(x+x^2+x^3+....+x^20) = (1+x^10)(x+x^2+……+x^10) 分解成2*10项。

以下是分解的结果，由于条件卡得较死，只能找出这一种结果。

(x+x^2+x^3+x^4)*(x+x^2+x^3+....+x^6)*(x+x^2+x^3+....+x^8)*(1+x+x^2+x^3+....+x^9)*(1+x+x^2+x^3+....+x^9)*(x+x^2+x^3+....+x^12)*(x+x^2+x^3+....+x^20) =

l1:   (1+x)  (x+x^3)

l2:   (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)

l3:   (1+x)  (x+x^3+x^5+x^7) 

l4:   (1+x+x^2+x^3+x^4)  (1+x^5)

l5:   (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9)

l6:   (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x*11+x^12)

l7:   (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10)   (1+x^10)

将l7的(1+x^10)与l3的(x+x^3+x^5+x^7) 合并展开（x+x^3+x^5+x^7+x^11+x^13+x^15+x^17）此为第一个骰子的设计（8面骰子有一个面刻有1，转换为120面骰子，既有15个面刻1）

将l6的(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x*11+x^12)与l3的(1+x)以及l4的(1+x+x^2+x^3+x^4)合并展开（x+3x^2+5x^3+7x^4+9x^5+10x^6+10x^7+10x^8+10x^9+10x^10+10x^11+10x^12+9x^13+7x^14+5x^15+3x^16+1x^17）此为第二个骰子的设计

将l1的(1+x)和l2 的(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)以及 l7的(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10) 合并展开

（x^2+3x^3+5x^4+7x^5+9x^6+11x^7+12x^8+12x^9+12x^10+12x^11+11x^12+9x^13+7x^14+5x^15+3x^16+1x^17） 此为第三个骰子的设计

将余下的l1的(x+x^3)和 l4的(1+x^5)和l5的  (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9)合并展开

（x^1+1x^2+2x^3+2x^4+2x^5+3x^6+3x^7+4x^8+4x^9+4x^10+3x^11+3x^12+2x^13+2x^14+2x^15+1x^16+1x^17）此为第四个骰子的设计

综上，将不足120面的扩展到120个面，骰子设计如下：

编号/点数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
1	15	0	15	0	15	0	15	0	0	0	15	0	15	0	15	0	15
2	1	3	5	7	9	10	10	10	10	10	10	10	9	7	5	3	1
3	0	1	3	5	7	9	11	12	12	12	12	11	9	7	5	3	1
4	3	3	6	6	6	9	9	12	12	12	9	9	6	6	6	3	3

使用程序验证过，结果是正确的。