稀疏表存储和查询

一 倍增

任意整数均可被表示成若干个 2 的次幂项之和。例如整数 5，其二进制表示为 101，该二进制数从右向左第 0,2 位均为 1 则 5=2^2+2^0；整数26，其二进制表示为 11010，该二进制数从右向左第 1、3、4 位均为 1，则26 =2^4+2^3+2^1。也就是说二的次幂项可被拼成任意一需要的值

倍增，顾名思义就是成倍增加。若问题的状态空间特别大，则一步步递推的算法复杂度太大，可以通过倍增思想，只考察2的整数次幂位置，快速缩小求解范围，直到找到解。

例如，在一棵树中，每一个节点的祖先都比该节点大，要查找 4 的祖先中等于 x 的祖先节点。最笨的方法就是一个一个的向上比较祖先节点，判断哪一个等于 x。若树特别大，则搜索效率很低，虽然祖先是有序的，但不是按顺序存储的，无法得到中间节点的下标，因此不可以采用普通的二分搜索。这时怎么办？答案是采用倍增思想，将 x 和当前节点向上 2^i 个节点进行比较，若 x 大于该节点，则向上跳 2^i  个节点，加大增量 2^(i+1)继续比较，若 x 小于该节点，则写减少增量 2^(i-1)，继续比较，直到相等，返回查找成功，或者增量减 2^0 仍不相等，返回查找失败。

二 ST

ST（稀疏表）算法采用了倍增思想，在构造一个二维表之后，可以在线查询[l,r]区间的最值，有效解决在线 RMQ 问题。

F[i,j] 表示 [i,i+2^j-1] 区间的最值，区间长度为 2^j。