背包问题

背包问题的三种求解方法

最新推荐文章于 2025-05-21 16:29:59 发布

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原文链接：https://my.oschina.net/nomasp/blog/503299

本文详细介绍了解决背包问题的三种方法：递归、记忆化搜索和动态规划的二重循环。通过具体代码实现，展示了如何在有限的背包容量下，选择物品以达到价值最大化的目标。

这里写图片描述

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

#define MAX_N 100
#define MAX_W 1000

int n,W;

// 从第i个物品开始挑选总重量小于j的部分
int rec(int i,int j)
{
    int res;
    if(i==n)
        res=0;  // 已经没有剩余物品了
    else if(j<w[i])
        res=rec(i+1,j);    // 无法挑选该物品
    else
        res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);  // 挑选与不挑选的情况中选择最大的一种
    return res;
}

void solve()
{
    printf("%d\n",rec(0,W));
}

int main()
{
    printf("n W:\n");
    scanf("%d %d",&n,&W);

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        printf("w[%d] v[%d]:\n",i,i);
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    }

    solve();
    return 0;
}

优化——记忆化搜索

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <memory.h>

using namespace std;

#define MAX_N 100
#define MAX_W 1000

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N];

int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];

int rec(int i,int j)
{
    if(dp[i][j]>=0)
        return dp[i][j];
    int res;
    if(i==n)
        res=0;
    else if(j<w[i])
        res=rec(i+1,j);
    else
        res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);
    return dp[i][j]=res;
}

void solve()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    printf("%d\n",rec(0,W));
}

int main()
{
    printf("n W:\n");
    scanf("%d %d",&n,&W);

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        printf("w[%d] v[%d]:\n",i,i);
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    }

    solve();
    return 0;
}

二重循环

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

#define MAX_N 100
#define MAX_W 1000

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N];

int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];

void solve()
{
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j<w[i])
                dp[i][j]=dp[i+1][j];
            else
                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][W]);
}

int main()
{
    printf("n W:\n");
    scanf("%d %d",&n,&W);

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        printf("w[%d] v[%d]:\n",i,i);
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    }

    solve();
    return 0;
}

i的循环为正向进行情况：

void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j<w[i])
            {
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            }
            else
            {
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

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