并查集中的启发式合并

算法原理

并查集一般有两种方法来保持复杂度不退化，一种是路径压缩，另一种则是按照秩来做启发式合并。

一般情况下我们都是用第一种，压缩路径通过递推找到祖先节点后，在回溯时将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后每次调用Find( )函数找父亲时复杂度就变成了O(1)。但是路径压缩时直接将节点的父亲修改成最终的祖先节点，在破坏原先的树结构的同时，在有些题目中也会损失信息。而不使用压缩路径，直接用暴力并查集又容易超时。

所以我们考虑用启发式合并的方法来保持树的形态，那么如何控制并查集的复杂度呢？

因为并查集是一种树型结构，对于以每个节点为根节点的子树都有一个深度，如果把一棵深度大的树的根节点接在了一棵深度小的树上，因为是直接把根节点接在另一个的根节点上，所以整棵树的深度为那一棵深度大的树的深度加一。而如果把一棵深度小的树的根节点接在了一棵深度大的树上，可直接接上，不影响深度。如果两个数深度一样，则将接完后的树的深度加一即可。所以考虑每次都将深度小的树接在深度大的树上，这就是启发式合并的原理。虽然没有压缩路径，但是按秩合并可以保证树高是O(logn)，这样找到树根是O(logn)，路径查询也是O(logn)。

实现代码

int fu[maxn]//存放父节点
int deep[maxn];//记录深度

int findx(int x)//启发式合并不压缩路径，保持树结构
{
    if(fu[x] == x) return x;
    return findx(fu[x]);
}

void join(int x, int y,int k) //按照秩来做启发式合并
{
    int fx = findx(x);
    int fy = findx(y);
    if(fx==fy) return;
    if(deep[fx]>deep[fy])//深度小的树接在深度大的树上
        swap(fx,fy);
    fu[fx] = fy;
    if(deep[fx]==d