陈楚东-第二周实现RSA算法

最新推荐文章于 2023-03-13 12:59:59 发布

chenchudongsg

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分类专栏：算法设计与分析

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chenchudongsg/article/details/21462279

算法设计与分析专栏收录该内容

11 篇文章

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本文详细介绍了RSA公钥加密算法的原理及其实现过程，包括质数生成、公钥与私钥生成、加密与解密算法等内容，并通过具体示例展示了整个流程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. 资料阅读。（20分钟）

查阅百度百科（ http://baike.baidu.com/ ）中“RSA”、“数字签名”、“公钥”、“DES”等4个名词的解释。理解公钥加密与数字签名之间的联系与区别，能够用自己的话阐述两者的概念。

答：

RSA算法是是使用不同的加密密钥与解密密钥，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。虽然秘密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。

数字签名就是将摘要信息用发送者的私钥加密，与原文一起传送给接收者。接收者只有用发送者的公钥才能解密被加密的摘要信息，然后用HASH函数对收到的原文产生一个摘要信息，与解密的摘要信息对比。如果相同，则说明收到的信息是完整的，在传输过程中没有被修改，否则说明信息被修改过。

DES一种对称加密算法，DES 使用一个 56 位的密钥以及附加的 8 位奇偶校验位（每组的第8位作为奇偶校验位），产生最大 64 位的分组大小。

公钥加密与数字签名之间的联系与区别在于：当发送者发送数据信息给接受者的时候，会用私钥对数字签名进行加密和用公钥加密后的原文一起发送，接收数据的一方会用公钥对加密后的数字签名进行验证，已保证数据的完整性。

2. 程序编写。（30分钟-3小时）

实现RSA算法（书籍P40）。同学们至少实现2.1 与 2.2；实现RSA完整算法的同学，总成绩的基础上加10分。请大家把编程思想与程序实现（源码），发表在优快云博文上。

2.1：判断一个正整数是否为质数的算法。函数签名如下

int isPrime(long a)

输入：一个长整数a

输出：返回1（为质数），返回0（非质数）

程序如下：

package com.zuoye;

import java.util.Scanner;

public class Demo02 {

	/**
	 * 判断一个正整数是否为质数的算法
	 */
	public static void main(String[] args) {
    	System.out.print("请输入一个正整数：");
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        long num=scanner.nextLong();
        int result= isPrime(num);
        if(result==1){
        	System.out.println(num+"是质数！！");
        }else{
        	System.out.println(num+"不是质数！！");
        }
	}
	public static  int isPrime(long a){
		if(a==1){
			return 1;
		}
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){
	    	if(a%i==0){
	    		return 0;
	    	}
	      }
		 return 1;
	}
}


  运行结果如下：
 
 
  
 
 
 
  
   2.2： 随机生成一个n bit位的长整数。函数签名如下
  
  
       long createRndInteger(int n)
  
  
       输入：随机数bit位的长度为n（解释：3bit位，则最大为111，最小为100；n bit位，则该数字二进制长度为n）
  
  
       输出：返回该随机数
  
  
   package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Demo3 {

	/**
	 * 随机生成一个n bit位的长整数
	 */
	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位的长整数的长度：");
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		long random= createRndInteger(num);
		System.out.println("随机生成的"+num+"bit位的长整数是："+random);
	}

	public static  long createRndInteger(int n){
		int[] a={0,1};
		StringBuilder sb=new StringBuilder();
		Random random=new Random();
		if(n==1){
			return a[random.nextInt(a.length)];
		}else{
			sb.append(1);
			for(int i=0;i<n-1;i++){
				sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
			}
			System.out.println("随机生成的"+n+"bit位的二进制数是："+sb.toString());
			long num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
			
			return num;
		}
	}
}

2.3：随机生成一个n bit位的长质数。函数前面如下

long createRndPrime(int n)

输入：随机质数的bit位长度为n

输出：nbit位长度的质数

关键为使用随机化算法判断一个长整数是否为素数（P33）。

package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Demo4 {

	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位：");
		
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		while(true){
			long random= createRndInteger(num);
			int result=isPrime(random);
			if(result==1){
				 System.out.println("随机生成的"+num+"bit位的长质数是："+random);
				 break;
			}else{
				 System.out.println("生成的不是质数，继续生成.....");
			}
		}
	
	}
	
	public static  long createRndInteger(int n){
		int[] a={0,1};
		StringBuilder sb=new StringBuilder();
		Random random=new Random();
		if(n==1){
			return a[random.nextInt(a.length)];
		}else{
			sb.append(1);
			for(int i=0;i<n-1;i++){
				sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
			}
			System.out.println("随机生成的"+n+"bit位的二进制数是："+sb.toString());
			long num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
			
			return num;
		}
	}
	public static  int isPrime(long a){
		if(a==1){
			return 1;
		}
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){
	    	if(a%i==0){
	    		return 0;
	    	}
	      }
		 return 1;
	}
}

2.4：公开密钥（N，e）的生成算法。关键为怎样选择一个与(p-1)(q-1)互质的数e。

package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;
/**
 * 公开密钥（N，e）的生成算法。 关键为怎样选择一个与(p-1)(q-1)互质的数e。
 * @author Administrator
 *
 */
public class Demo5 {

	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位：");
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		if(num<=1){
			System.out.print("输入的bit位不能太短....：");
		}
		long p=createRndInteger(num);
		System.out.println("生成的第1个质数："+p);
		long q=0;
	    do{
	    	q=createRndInteger(num);
	    }while(p==q);
	    System.out.println("生成的第2个质数："+q);
	    long n=p*q;
	    long t=(p-1)*(q-1);
	    int e=0;
	    for(int i=2;i<t;i++){
	    	if(t%i!=0){
	    		e=i;
	    		break;
	    	}
	    }
	    System.out.println("产生的公开密钥(N,e)=("+n+","+e+")");
	}
	public static  long createRndInteger(int n){
		long num=0;
		while(true){
		int[] a={0,1};
		StringBuilder sb=new StringBuilder();
		Random random=new Random();
		sb.append(1);
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
		}
		num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
		int result= isPrime(num);
		if(result==1){
			
			break;
		}else{
			System.out.println("随机生成的不是质数，继续生成质数.....");
		}
	}
		return num;
	}
	public static  int isPrime(long a){
		if(a==1){
			return 1;
		}
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){
	    	if(a%i==0){
	    		return 0;
	    	}
	      }
		 return 1;
	}
}

2.5：保密密钥（N，d）的生成算法。关键是运用扩展Euclid算法，生成e模(p-1)(q-1)的逆元，见书籍25页

package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Demo6 {

	/**
	 *  保密密钥（N，d）的生成算法。关键是运用扩展Euclid算法，生成e模(p-1)(q-1)的逆元，见书籍25页。
	 */
	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位：");
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		if(num<=1){
			System.out.print("输入的bit位不能太短....：");
		}
		long p=createRndInteger(num);
		System.out.println("生成的第1个质数："+p);
		long q=0;
	    do{
	    	q=createRndInteger(num);
	    }while(p==q);
	    System.out.println("生成的第2个质数："+q);
	    long n=p*q;
	    long t=(p-1)*(q-1);
	    int e=0;
	    for(int i=2;i<t;i++){
	    	if(t%i!=0){
	    		e=i;
	    		break;
	    	}
	    }
	    System.out.println("产生的公开密钥(N,e)=("+n+","+e+")"+t);
	    int d=0;
	    for(int i=1;i<t;i++){
	    	if(e*i%t==1){
	    		d=i;
	    		break;
	    	}
	    }
	    System.out.println("生成的密钥(N,d)=("+n+","+d+")");
	}

	public static  long createRndInteger(int n){
		long num=0;
		while(true){
		int[] a={0,1};
		StringBuilder sb=new StringBuilder();
		Random random=new Random();
		sb.append(1);
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
		}
		num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
		int result= isPrime(num);
		if(result==1){
			
			break;
		}else{
			System.out.println("随机生成的不是质数，继续生成质数.....");
		}
	}
		return num;
	}
	public static  int isPrime(long a){
		if(a==1){
			return 1;
		}
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){
	    	if(a%i==0){
	    		return 0;
	    	}
	      }
		 return 1;
	}
}

2.6：RSA加密算法。对消息m=25进行加密，生成密文c。

package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Demo6 {

	/**
	 *   RSA加密算法。对消息m=25进行加密，生成密文c。
	 */
	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位：");
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		if(num<=1){
			System.out.print("输入的bit位不能太短....：");
		}
		long p=createRndInteger(num);
		System.out.println("生成的第1个质数："+p);
		long q=0;
	    do{
	    	q=createRndInteger(num);
	    }while(p==q);
	    System.out.println("生成的第2个质数："+q);
	    long n=p*q;
	    long t=(p-1)*(q-1);
	    long e=public_key(num,t);//产生公钥
	    System.out.println("产生的公开密钥(N,e)=("+n+","+e+")");
	    long d=private_key(num,t,e);//长生私钥
	    System.out.println("产生的私钥(N,d)=("+n+","+d+")");
	    System.out.print("请输入明文:");
	    long m= scanner.nextLong();
	    long c=encoder(m,e,n);
	    System.out.println("产生的密文是:"+c);
	  
	}
	/**
	 * 进行加密
	 * @return
	 */
	 public static long  encoder(long m,long e,long n){
		 long f = 1;
		 for(int i=1;i<=e;i++){
			 f=f*m;
		 }
		 long c=f%n;//产生密文
		 return c;
	 }
	
        /**
	 * 产生公钥
	 * @return
	 */
	public static long public_key(long num,long t){
		int e=0; 
		for(int i=2;i<t;i++){ 
			if(t%i!=0){ e=i; break; 
			}
		}
		return e;
	}
	        /**
	 * 产生私钥
	 * @return
	 */
	 public static long private_key(long num,long t,long e){
		 int d=0; 
		 for(int i=1;i<t;i++){ 
			 if(e*i%t==1){ d=i; break; 
			 } 
		} 
		 return d;
	 }
	 public static long createRndInteger(int n){
		 long num=0;
		 while(true){
			 int[] a={0,1};
			 StringBuilder sb=new StringBuilder();
			 Random random=new Random();
			 sb.append(1);
			 for(int i=0;i<n-1;i++){
				 sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
				 }
			 num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
			 int result= isPrime(num);
			 if(result==1){break;}
			 else{System.out.println("随机生成的不是质数，继续生成质数.....");}
			 }
		 return num;
		 }
	 public static int isPrime(long a){
		 if(a==1){return 1;} 
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){ 
			 if(a%i==0){ 
				 return 0; 
				 } 
			 } 
		 return 1;
		 }
	 }

2.7：RSA解密算法。对密文c进行解密。

package com.zuoye;

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Demo6 {

	/**
	 *  保密密钥（N，d）的生成算法。关键是运用扩展Euclid算法，生成e模(p-1)(q-1)的逆元，见书籍25页。
	 */
	public static void main(String[] args) {
		System.out.print("请输入随机生成n bit位：");
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int num= scanner.nextInt();
		if(num<=1){
			System.out.print("输入的bit位不能太短....：");
		}
		long p=createRndInteger(num);
		System.out.println("生成的第1个质数："+p);
		long q=0;
	    do{
	    	q=createRndInteger(num);
	    }while(p==q);
	    System.out.println("生成的第2个质数："+q);
	    long n=p*q;
	    long t=(p-1)*(q-1);
	    long e=public_key(t);//产生公钥
	    System.out.println("产生的公开密钥(N,e)=("+n+","+e+")");
	    long d=private_key(t,e);//长生私钥
	    System.out.println("产生的私钥(N,d)=("+n+","+d+")");
	    System.out.print("请输入明文:");
	    long m= scanner.nextLong();
	    long c=encoder(m,e,n);
	    System.out.println("产生的密文是:"+c);
	    m= decoder(c,d,n);
	    System.out.println("解密之后是："+m);
	}
	/**
	 * 
	 * 进行解密
	 */
	public static long decoder(long c,long d,long n){
		long j=1,m=1;
		for(int i=1;i<=d;i++){
			j=j*c;
		}
		m=j%n;
		return m;
	}
	/**
	 * 进行加密
	 * @return
	 */
	 public static long  encoder(long m,long e,long n){
		 long f = 1,c=1;
		 for(int i=1;i<=e;i++){
			 f=f*m;
		 }
		 c=f%n;//产生密文
		 return c;
	 }

	public static long public_key(long t){
		    int e=0;
		    for(int i=2;i<t;i++){
		    	if(t%i!=0){
		    		e=i;
		    		break;
		    	}
		    }
		    return e;
	}
	public static long private_key(long t,long e){
		 int d=1;
		    for(int i=1;i<t;i++){
		    	if(e*i%t==1){
		    		d=i;
		    		break;
		    	}
		    }
		    return d;
	}
	public static  long createRndInteger(int n){
		long num=0;
		while(true){
			int[] a={0,1};
			StringBuilder sb=new StringBuilder();
			Random random=new Random();
			sb.append(1);
			for(int i=0;i<n-1;i++){
				sb.append(a[random.nextInt(a.length)]);
			}
			num=Long.parseLong(sb.toString(),2);
			int result= isPrime(num);
			if(result==1){
				break;
			}else{
				System.out.println("随机生成的不是质数，继续生成质数.....");
			}
	}
		return num;
	}
	public static  int isPrime(long a){
		if(a==1){
			return 1;
		}
		 for(int i=2;i<Math.sqrt(a);i++){
	    	if(a%i==0){
	    		return 0;
	    	}
	      }
		 return 1;
	}
}