通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式

最新推荐文章于 2024-12-30 11:23:26 发布

chenbingchenbing

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本文详细介绍了如何通过余弦定理从点积的定义推导出点积的公式。首先，利用余弦定理得出边长与夹角的关系，然后在三维坐标系中对边长进行平方运算，最终通过比较和化简得到点积与余弦定理之间的联系。

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通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式
首先证明余弦定理:
有边为a,b,c,对应夹角为a_angle,b_angle,c_angle
分别从定点向对应边作对角线可以发现如下关系成立:
(1)
a=b*cos c_angle + c * cos b_angle
(2)
b=a*cos c_angle + c * cos a_angle
(3)
c=a*cos b_angle + b * cos a_angle
对(1)*a有:
a^2=a*b*cos c_angle + a*c * cos b_angle
同样有:
b^2=b*a*cos c_angle + b*c * cos a_angle
c^2=c*a*cos b_angle + c*b * cos a_angle
比较上面三个,可以发现有:
a^2+b^2={a*b*cos c_angle + a*c * cos b_angle } + {b*a*cos c_angle + b*c * cos a_angle}
GO
移项有:
a^2+b^2={a*b*cos c_angle + b*a*cos c_angle}+ { a*c * cos b_angle + + b*c * cos a_angle}
GO
a^2+b^2=2*a*b*cos c_angle + c^2
现在继续往下证明:
假设a,b,c的在三维坐标下
(4)
a^2=a1^2+a2^2+a3^2
同样有:
(5)
b^2=b1^2+