基础DP---硬币问题

DP初步：状态转移与递推

eg:

• 最少硬币问题
• 有多个不同面值的硬币（任意面值）；
• 数量不限；
• 输入金额S，输出最少硬币组合。 

思路：

• int type[ ] = {1, 5, 10, 25, 50};  //5种面值硬币    
• 定义数组 int Min[ ] 记录最少硬币数量：
• 对输入的某个金额i，Min[i]是最少的硬币数量。

第一步：

只考虑1元面值的硬币（把Min[]的变化叫做“状态转移”）

i=1元时，等价于：i = i-1 = 0元需要的硬币数量，加上1个1元硬币。 

补： 

把Min[]的变化叫做“状态转移” 

继续

所有金额仍然都只用1元硬币

 

• i=2元时，等价于：i = i-1 = 1元需要的硬币数量，加上1个1元硬币。
• i=3元时...
• i=4元时…

在1元硬币的计算结果基础上，再考虑加上5元硬币的情况。从i=5开始就行了： 

i=5元时，等价于：

• （1）i = i-5 = 0元需要的硬币数量，加上1个5元硬币。Min[5]=1。
• （2）原来的Min[5]=5。 取（1）（2）的最小值，所以Min[5]=1

 用1元和5元硬币，结果：

 

 递推关系： Min[i] = min(Min[i], Min[i - 5] + 1);

代码： 

//ECUST luoyongjun
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MONEY = 1001;                  //定义最大金额
const int VALUE = 5;                     //5种硬币
int type[VALUE] = {1, 5, 10, 25, 50};    //5种面值
int Min[MONEY];               //每个金额对应最少的硬币数量
void solve(){
    for(int k = 0; k< MONEY; k++)         //初始值为无穷大
       Min[k] = INT_MAX;
    Min[0] = 0;
    for(int j = 0; j < VALUE; j++)
        for(int i = type[j]; i < MONEY; i++)
            Min[i] = min(Min[i], Min[i - type[j]] + 1);    //递推式
}
int main(){
    int s;
    solve();                    //提前计算出所有金额对应的最少硬币数量。打表
    while(cin >> s)
        cout << Min[s] << endl;
    return 0;
}

 扩展1：

打印最少硬币的组合

• 增加一个记录表 Min_path[i]，记录金额i需要的最后一个硬币。
• 利用Min_path[]逐步倒推，就能得到所有的硬币。 

• Min_Path[6]=5：最后一个硬币是5元的；
• Min_Path[6-5]=Min_Path[1]=1，1元硬币；
• Min_Path[1-1]=Min_Path[0]=0，结束；
• 输出：硬币组合是“5元 + 1元”

代码： 

//ECUST luoyongjun
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MONEY = 1001;              //定义最大金额
const int VALUE = 5;                 //5种硬币
int type[VALUE] = {1,5,10,25,50};  //5种面值
int Min[MONEY];                       //每个金额对应最少的硬币数量
int Min_path[MONEY]={0};            //记录最小硬币的路径

void solve(){
    for(int k=0; k< MONEY;k++)
        Min[k] = INT_MAX;
    Min[0]=0;
    for(int j = 0;j < VALUE;j++)
        for(int i = type[j]; i < MONEY; i++)
            if(Min[i] >  Min[i - type[j]]+1){
               Min_path[i] = type[j];   //在每个金额上记录路径，即某个硬币的面值
               Min[i] = Min[i - type[j]] + 1;  //递推式
            }
}
void print_ans(int *Min_path, int s) {      //打印硬币组合
    while(s){
        cout << Min_path[s] << " ";
        s = s - Min_path[s];
    }
}
int main() {
    int s;
    solve();
    while(cin >> s){
        cout << Min[s] << endl; 	  	 //输出最少硬币个数
        print_ans(Min_path,s); 		 //打印硬币组合
    }
    return 0;
}

 扩展2：

硬币组合方案有多少？

• hdu 2069题
• 有5种面值的硬币：1分、5分、10分、25分、50分。
• 输入一个钱数S，输出组合方案的数量。
• 例如11元，有4种组合方案：11个1分、2个5分 + 1个1分、1个5分 + 6个1分、1个10分 + 1个1分。
• S ≤ 250，硬币数量NUM ≤ 100。 

思路：

定义状态为dp[i][j]，建立一个“转移矩阵”，如下表。

横向是金额（题目中i ≤ 250），纵向是硬币数（题目中最多用100个硬币，j ≤ 100）。

矩阵元素dp[i][j]的含义是：用j个硬币实现金额i的方案数量。

• 矩阵元素dp[i][j] 例如表中dp[6][2] = 1，表示用2个硬币凑出6分钱，只有1种方案：5分+1分。
• 表中的空格为0，即没有方案，例如dp[6][1]=0，用1个硬币凑6分钱，不存在这样的方案。
• 表中列出了dp[10][7]以内的方案数。 

第一步：

• 只用1分硬币实现。 初始化：dp[0][0] = 1 dp[1][1] = dp[1][1] + dp[1-1][1-1] = dp[1][1] + dp[0][0] = 1。
• dp[1-1][1-1]的意思是：在1分金额中减去1分硬币的金额；原来1个硬币也减少1个。
• 在这次状态转移中，dp[1][1]与dp[1-1][1-1]等价。 

第二步：

• 加上5分硬币，继续进行组合。 dp[i][j]，i < 5时，组合中不可能有5分硬币。
• 当i≧5时，金额为i，硬币为j个的组合数量，等价于在i中减去5分钱，
• 而且硬币数量也减去1个（即这个面值5的硬币）的情况。
• dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i-5][j-1] 。

第三步：

• 陆续加上10分、25分、50分硬币，
• 同理有dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i-type[k]][j-1]，k=2, 3, 4。

代码：

 

//ECUST luoyongjun
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int COIN = 101;                   //题目要求不超过100个硬币
const int MONEY = 251;                  //题目给定的钱数不超过250
int dp[MONEY][COIN] = {0};              // DP转移矩阵
int type[5] = {1, 5, 10, 25, 50};      //5种面值
void solve() {                             // DP
    dp[0][0] = 1;
    for(int i=0; i<5; i++)
        for(int j=1; j<COIN; j++)
            for(int k = type[i]; k < MONEY; k++)
                dp[k][j] += dp[k-type[i]][j-1];
}
int main() {
    int s;
    int ans[MONEY] = {0};
    solve();                          //用DP计算完整的转移矩阵
    for(int i=0; i< MONEY; i++)   //对每个金额，计算有多少种组合方案。打表
        for(int j=0; j<COIN; j++)  //从0开始，注意 dp[0][0]=1
            ans[i] += dp[i][j];
    while(cin >> s)
        cout << ans[s] << endl;
    return 0;
}

为了让孩子以后能享受这般待遇，你一定要加油鸭！！！