递归练习 uva 10305

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拓扑排序

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本文深入探讨了拓扑排序的概念、定义及其在现实生活中的应用。通过详细解释拓扑排序的过程，包括两种主要的解题方法：一种是贪心算法，另一种则是使用深度优先搜索。文中还提供了代码示例，帮助读者理解并实现拓扑排序。此外，文章强调了拓扑排序在解决实际问题中的重要性，如项目管理、课程安排等。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

//题意：输入n和m，以及m个二元组(i,j)，求1~n的一个排列使得对于每个(i,j)，i在j的前面（拓扑排序）
#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn = 1000;
int n, m, G[maxn][maxn], c[maxn], topo[maxn], t;

bool dfs(int u,int deep){ 
//  for(int i=0;i<deep ;i++){  //debug
//  	printf(" ");
//  }
//  printf("%d %d\n",u,deep);
  c[u] = -1;
  for(int v = 0; v < n; v++) if(G[u][v]) {
	    if(c[v]<0) return false;
	    else if(!c[v]) dfs(v,deep+1);	
	   //else if(!c[v] && !dfs(v) ) return false;
  }
  c[u] = 1;  //千万不能省，可能正确的数据输出no。因为dfs过程中需要区分是环（dfs还在栈帧中，尚未返回）
  //还是只是以前访问过，并且递归访问过他的所有子孙 
  topo[--t]=u;
  return true;
}

bool toposort(){
  t = n;
  memset(c, 0, sizeof(c));
  for(int u = 0; u < n; u++) if(!c[u])
    if(!dfs(u,0)) return false;
  return true;
}

int main() {
  while(scanf("%d%d", &n, &m)  == 2 && n) {
    memset(G, 0, sizeof(G));
    for(int i = 0; i < m; i++) {
      int u, v;
      scanf("%d%d", &u, &v); u--; v--;
      G[u][v] = 1;
    }
    if(toposort()) {
      for(int i = 0; i < n-1; i++)
        printf("%d ", topo[i]+1);
      printf("%d\n", topo[n-1]+1);
    }
    else
      printf("No\n"); //题目没说无解输出什么，应该是保证有解吧
  }
}

题目大意：

约翰有n个任务要做，不幸的是，这些任务并不是独立的，执行某个任务之前要先执行完其他相关联的任务。

分析与总结：

这题是最基础的拓扑排序。

拓扑排序的定义：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

以上的定义比较“学术“，简单的说，就是一些事件，某些必须在另外某些发生之前；比如穿袜和穿鞋；再比如大学选课，选修某门课的前提必须先修完其他一些相关连的课程才可以。

所以，拓扑排序在现实生活中有着十分广泛的应用。

这里有一个拓扑排序过程的演示动画，十分直观：
http://www.jcc.jx.cn/xinwen3/news/kj/flash/2009/0426/1302.htm

一般的题目可能会给一些事件，和一些发生次序，来求一个拓扑排序；

对于拓扑排序主要有两种方法。

第一种是贪心的思路，以邻接表为图的存储结构，过程直接模拟上面的演示动画：

a)扫描顶点表，将入度为零的顶点入栈；（ps：这里栈可以使优先队列 and so on。。）

b)当栈非空时：

输出栈顶元素v，出栈；

检查v的出边，将每条出边的终端顶点的入度减1，若该顶点入度为0，入栈；

c)当栈空时，若输出的顶点小于顶点数，则说明AOV网有回路，否则拓扑排序完成。

下面是给出这种方法的解题代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 105;
int n,m,son[N],topoSort[N],t;
char O[2*N];
vector<int>G[N];

void init(){
for(int i=1; i<=n; ++i){
G[i].clear();
}
memset(son, 0, sizeof(son));
}

int main(){
int u,v;
while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m){
init();
for(int i=0; i<m; ++i){
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
++son[v];
}
int num=n;
queue<int>q;
for(int i=1; i<=n; ++i){
if(!son[i]) q.push(i);
}
int pos=0;
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
topoSort[pos++] = t;
for(int v=0; v<G[t].size(); ++v)
if(--son[G[t][v]]==0)
q.push(G[t][v]);
}
for(int i=0; i<pos; ++i){
if(!i)printf("%d",topoSort[i]);
else printf(" %d",topoSort[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}

第二种方法是《算法导论》上的，刘汝佳的《算法入门经典》P 111页上介绍的也是这种方法。
这种方法是用dfs，从根节点开始深搜，每搜到一点记录下来开始搜索和结束搜索的时间戳；
然后根据结束时间从大到小排序即可。这种方法时间效率更高，更推荐。

推荐的解法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int G[110][110],n,m,a,b;
int vis[110],c[110], topo[110], t;

bool dfs(int u){
vis[u] = -1; //表示正在访问
for(int v=1; v<=n; ++v) if(G[u][v]){
if(vis[v] == -1) return false; // 如果存在有向环，失败退出
else if(!vis[v] && !dfs(v)) return false;
}
// 结束访问
vis[u] = 1; topo[--t] = u;
return true;
}

bool topoSort(){
t = n;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int u=1; u<=n; ++u)
if(!vis[u] && !dfs(u)) return false;
return true;
}

int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt","r",stdin);
#endif
// 注意输入那里的结束条件不能是 n&&m,因为m可能是0
while(~scanf("%d %d",&n,&m) && n+m){
memset(G, 0, sizeof(G));
for(int i=0; i<m; ++i){
scanf("%d %d",&a,&b);
G[a][b] = 1;
}
if(topoSort()) {
printf("%d",topo[0]);
for(int i=1; i<n; ++i)
printf(" %d",topo[i]);
printf("\n");
}
}
return 0;
}