【MPC】模型预测控制笔记 (7)：非线性MPC

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前言

致谢 【模型预测控制（2022春）lecture 5-1 Implementing MPC in MATLAB】

诸兵老师的MPC课程到此完结，在本笔记的最后再次感谢诸兵老师的精彩课程，
本笔记的内容基本都来源于该课程，当然也补充了一些基础知识，各位看官如有收获，请到视频中一起为该课程点赞。

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非线性MPC

当系统模型是复杂的非线性函数时，就无法像线性系统那样通过矩阵形式写出未来 $N$ 状态的紧凑形式，但 MPC 的优化求解思路仍然适用。

假设有非线性系统：
$$x_{k+1}=f(x_k,u_k)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x_k\in {\mathbb{R}}^n$ 是系统状态，$u_k\in {\mathbb{R}}^p$ 是系统的输入，$u_k\in \mathcal{U}$。
我们仍然可定义代价函数：
$$J_k=\sum _{i=1}^N\left(x_{(i|k)}^{T}Q{x}_{(i|k)}+u_{(i-1|k)}^{T}R{u}_{(i-1|k)}\right)$$
将系统模型作为等式约束，通过非线性优化求解最优控制序列，即构建优化问题求解：
$$\begin{array}{rl}& [X_k^{\ast },U_k^{\ast }]=\arg \underset{X_k,U_k}{\min }{J}_k\\ s.t.& u_{(i|k)}\in \mathcal{U},i=0,1,2,\cdots ,N-1\\ & x_{(0|k)}=x_k\\ & x_{(i+1|k)}=f(x_{(i|k)},u_{(i|k)}),i=0,1,2,\cdots ,N-1\end{array}$$

注意：此处只介绍了非线性MPC的构建，目前系统的稳定性并没有保障，分析非线性MPC的稳定性仍然存在挑战。

MATLAB求解实例

假设系统模型为：
$$x_{k+1}=f(x_k,u_k)$$
其中 $f(x,u)=\left[\begin{array}{c}1.1x_1+sin(x_2)\\ 0.12x_1^2+x_2+0.079u\end{array}\right]$，$x=[x_1{x}_2{]}^T$，$-4\le u\le 4$.

下面将使用MATLAB中的 fmincon 函数求解：
定义代价函数（fmincon 优化的目标函数）：

function f = objfun(UX) % XU = [u0, u1, ..., u(N-1), x1_1, x1_2,  x2_1, x2_2, .., xN_1, xN_2]
    N = length(UX)/3;
    U = UX(1:N);
    X = UX(N+1:end);
    
    % 定义权重矩阵
    Q = eye(2);
    R = 0.1;
    
    Qp = kron(eye(N), Q);
    Rp = kron(eye(N), R);
    
    f = X'*Qp*X + U'*Rp*U;
end

将系统模型作为 fmincon 的非线性等式约束：

function [c,ceq] = nonlcon(UX, xCur)
    N = length(UX)/3;
    n = 2; % x维数
    p = 1; % u维度

    U = UX(1:N);
    X = UX(N+1:end);

    c = []; % 非线性不等式约束
    ceq = zeros(n*N, 1); % 非线性等式约束
    ceq(1:n) = X(1:n) - model(xCur, U(1:p)); % x1k = f(x0k, u0k);
    for i = 2:N
        ceq( (i-1)*n + 1 : i*n ) = X( (i-1)*n+1 : i*n) - model( X((i-2)*n+1 : (i-1)*n), U((i-1)*p + 1:i*p));
    end
end

function xPlus = model(xCur, uCur)
    xPlus = [1.1 * xCur(1) + sin(xCur(2)); 0.12 * xCur(1)^2 + 0.079 * uCur];    
end

系统动态及代码如下：

N = 10;

% 控制输入约束
lb = -4*ones(N, 1);
ub = 4*ones(N, 1);
lb = [lb; -ones(2*N, 1) * inf];
ub = [ub; ones(2*N, 1) * inf];

options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'none');

xCur = [1.2;-0.7]; % 设初始状态

xLog = xCur;
uLog = [];

UX = zeros(3*N, 1);
step = 0:50;
for i = step
    nonlconFun = @(UX) nonlcon(UX, xCur);
    UX = fmincon(@objfun, UX, [], [], [], [], lb, ub, nonlconFun, options);
    u = UX(1);
    
    xCur = model(xCur, u);

    xLog = [xLog, xCur];
    uLog = [uLog, u];
end

figure(1)
subplot(3,1,1)
hold on
plot(step, xLog(1,1:end-1), DisplayName='x')
legend(Location='best', NumColumns=3)
title('x1')
grid on
subplot(3,1,2)
hold on
plot(step, xLog(2,1:end-1), DisplayName='x')
legend(Location='best', NumColumns=3)
title('x2')
grid on
subplot(3,1,3)
hold on
plot(step, uLog, DisplayName='u')
legend(Location='best', NumColumns=3)
title('u')
grid on