欧拉工程第21题计算10000以下所有相亲数之和

最新推荐文章于 2022-09-20 22:25:58 发布

Stone Chen

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分类专栏：我的欧拉工程之路文章标签：解题算法欧拉工程我的欧拉工程之路

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本文介绍了一种计算10000以下所有亲和数之和的方法，通过定义函数d(n)来求n的所有真因子之和，并利用相亲数的性质寻找配对的亲和数，最终计算这些亲和数的总和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

$d(n)$ 定义为n 的所有真因子（小于 n 且能整除 n 的整数）之和。
如果 $d(a) = b$ 并且 $d(b) = a$ , 且 $a \neq b$ , 那么 a 和 b 就是一对相亲数（amicable pair），并且 a 和 b 都叫做亲和数（amicable number）。

例如220的真因子是 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 和 110; 因此 $d(220) = 284$ . 284的真因子是1, 2, 4, 71 和142; 所以 $d(284) = 220$ .

计算10000以下所有亲和数之和。

解题方法

定一个函数d(n)，求小于n的真因子数的和。solve函数里新建一个不重复的集合，将相亲数对加入，最后计算集合内数的和。
不过以下程序存在一个效率问题。如在solve中循环变量i = 220，获得另一个相亲数284，将这两个数添加至Set中。但在i=284时，220和284又一次添加至Set，虽然因为Set中已有这两个数而未重复添加，但实际上浪费了时间。这也是程序中使用Set的原因。如果不浪费效率，那么就需要一个布尔的数组标记哪个数已经被验证过，但这样也浪费了空间。在效率和占用空间中，我选择了减少空间。

程序

public static void solve() {
    // 新建一个空的内部元素不会重复的集合
    HashSet<Integer> amicable = new HashSet<Integer>();
    for (int i = 1; i < 10000; i++) {
        int amic = d(i);
        // 相亲数条件d(a) = b, d(b) = a,且a!=b
        if (i == d(amic) && i != amic) {
            // 输出相亲数对
            System.out.println(i + " | " + amic);
            amicable.add(i);
            amicable.add(amic);
        }
    }
    Iterator<Integer> it = amicable.iterator();
    int sum = 0;
    while (it.hasNext()) {
        int next = it.next();
        sum += next;
    }
    System.out.println(sum);
}

public static int d(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        if (n % i == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    return sum;
}