欧拉工程第6题 平方和与和平方的差是多少

题目

前十个自然数的平方和是：

$$1^{2}+2^{2}+\cdots+10^{2} = 385$$
前十个自然数的和的平方是： $$(1+2+\cdots+10)^{2}=55^{2}=3025$$
所以平方和与和的平方的差是$3025-385 = 2640$
找出前一百个自然数的平方和与和平方的差。

解题方法

等差数列{$A_{n}=n$}的前n项和为$S_{A}$，$S_{A}=\frac{n(n+1)}{2}$

数列{$B_{n}=n^{2}$}的前n项和为$S_{B}$，$S_{B}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

下面求证如何求得$S_{B}$。

$(n+1)^{3}-n^{3}=3n^{2}+3n+1$
$n^{3}-(n-1)^{3}=3(n-1)^{2}+3(n-1)+1$
……
$2^{3}-1^{3}=3\times1^{2}+3\times1+1$

将以上式子左边全部相加，写在左边，右边全部相加，写在右边，等式仍然成立，得到式子：

$$(n+1)^{3}-1=3\times(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2})+3\times(1+2+\cdots+n)+n$$
化简得： $$n^{3}+3n^{2}+3n=3\times(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2})+3\times\frac {n(n+1)}{2}+n$$
最终得到： $$1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$$
求证完毕。

那么，要求的结果就是：

$$result=S_{A}^{2}-S_{B}=(\frac {100\times101}{2})^{2}-\frac {100\times101\times201}{6}=25164150$$