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分类专栏：题解 dp 矩阵乘法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chen1352/article/details/52642718

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本文介绍了一种解决特定算法竞赛问题的方法，通过分析两种不同的数据范围，使用动态规划和矩阵快速幂来求解。针对较小规模数据集采用状态压缩动态规划，而面对大规模数据则利用矩阵快速幂进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

这里写图片描述

数据范围

50%的数据满足1<=N<=100,1<=M<=11
另外50%的数据满足1<=N<=10^200,1<=M<=5

分析

我们可以从两种数据范围分别突破，
人话：打分段。
对于第一个数据范围，我们设 $f_{i,s}$ 表示，做到第i行，这一行的状态为s，
s是一个m位的二进制数，表示这一行每个为对下一行的同一个位有没有影响。
首先预处理两个状态是否可以转移，
dp就很水了。
对于第二个数据范围，
矩阵快速幂。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=2147483647;
const long long mo=1000000007;
const long long N=2505;
using namespace std;
long long n1[N],m,a[N][N],f[105][N],n,f1[N][N],g[N];
char s[101];
long long matrix(int k)
{
    int j=0;
    for(int i=1;i<=(1<<m)-1;i*=2)
    {
        if((k&i)==0) j++;
        else 
        {
            if(j%2==1) return 0;
            j=0;
        }
    }
    if(j%2==1) return 0;
        else return 1;
}
long long time()
{
    long long f2[N];
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
        f2[i]=f[0][i];
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
    {
        f[0][i]=0;
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            f[0][i]=(f[0][i]+f2[j]*a[j][i]%mo)%mo;
    }
}
long long time1()
{
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            f1[i][j]=a[i][j];
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
        {
            a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<=(1<<m)-1;k++)
            {
                a[i][j]=(a[i][j]+f1[i][k]*f1[k][j]%mo)%mo;
            }
        }
}
long long chu()
{
    int k=0;
    for(int i=n1[0];i>=1;i--)
    {
        if(i-1) n1[i-1]+=(n1[i]%2)*10;
        n1[i]/=2;
    }
    while(!n1[n1[0]] && n1[0]>0)
        n1[0]--;
}
long long mi()
{
    while(n1[0])
    {
        if(n1[1]%2) time();
        time1();
        chu();
    }
}
int main()
{
    scanf("%s%lld",s,&m);
    n1[0]=strlen(s);
    for(int i=1;i<=n1[0];i++)
        n1[i]=s[n1[0]-i]-'0';
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            if((i&j)==0) a[i][j]=matrix(i|j);
    if(m<=5)
    {
        f[0][0]=1;
        mi();
        printf("%lld",f[0][0]);
        return 0;
    }
    int k=1;
    if(m>5) 
        for(int i=1;i<=n1[0];i++)
        {
            n+=k*n1[i];
            k*=10;
        }
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++) 
        f[1][i]=matrix(i);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            f[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
        if(f[i][j])
        {
            for(int k=0;k<=(1<<m)-1;k++)
            if(a[j][k])
            {
                f[i+1][k]=(f[i+1][k]+f[i][j])%mo;
            }
        }
    } 
    printf("%lld\n",f[n][0]);
}