【NOIP2016提高A组模拟8.17】(雅礼联考day1)Value

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本文针对背包问题中的动态规划算法进行优化探讨，通过调整物品重量排序的方式，实现了无需枚举选择物品数量的高效算法。该方法将物品按重量从大到小排序，并重新定义状态转移方程，有效降低了时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

这里写图片描述

分析

易证，最优的答案一定是按 $w_i$ 从小到大放。
我们考虑dp，
先将w从小到大排个序，再设 $f_{i,j}$ 表示当前做到第i个物品，已选择了j个物品的最大值。转移就是

f i, j = m a x {f i - 1, j f i - 1, j - 1 + v i - w i * (共 选 多 少 个 物 品 （ 这 个 要 枚 举 ） - j)

$f_{i,j}=max\left\{\begin{array}\\f_{i-1,j}\\f_{i-1,j-1}+v_i-w_i*(共选多少个物品（这个要枚举）-j)\end{array}\right.$
但显然这是

O(n3) $O(n^3)$ 的。
我们考虑如何不用枚举共选多少个物品，
我们考虑反过来做，将w从大到小排个序
再设

fi,j $f_{i,j}$ 表示当前做到第i个物品，已选择了最后j个物品的最大值。
那么每个物品产生的贡献就是

wi∗(j−1) $w_i*(j-1)$
转移就是

f i, j = m a x {f i - 1, j f i - 1, j - 1 + v i - w i * (j - 1)

$f_{i,j}=max\left\{\begin{array}\\f_{i-1,j}\\f_{i-1,j-1}+v_i-w_i*(j-1)\end{array}\right.$

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=5005;
using namespace std;
struct ddx
{
    int v,w;
}a[N];
int n,ans,f[N][N];
bool cmp(ddx x,ddx y)
{
    return x.w>y.w;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].w);
    }
    ans=0;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i].v-a[i].w*(j-1));
            ans=max(ans,f[i][j]);
        }
    }
    printf("%d",ans);
}