8、有限集合排列与置换群的深入剖析

有限集合排列与置换群的深入剖析

1. 集合的排列

排列在数学的各个分支都有广泛应用，如几何、统计和初等代数等领域，在科技方面也有众多应用，像魔方问题就会用到置换群来展示其多种解法。魔方不同的变换和排列构成了置换群的一个子群，这个子群是通过魔方不同的水平和垂直旋转得到的。

• 排列的定义 ：设 (A) 为任意集合，函数 (\alpha : A \to A) 被称为集合 (A) 的排列，当且仅当 (\alpha) 是一一对应且满射的，也就是从 (A) 到 (A) 的双射函数，即 (A) 与其自身的一一对应。这里我们主要关注 (A) 为有限集合的情况。
  • 示例 ：对于集合 ({1, 2, 3, 4})，定义排列 (\alpha) 为 (\alpha(1) = 3)，(\alpha(2) = 2)，(\alpha(3) = 4)，(\alpha(4) = 1)，用两行表示法可写成 (\alpha = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \ 3 & 2 & 4 & 1\end{bmatrix})。同样，对于集合 ({1, 2, 3, 4, 5}) 的排列 (\beta)，(\beta(1) = 4)，(\beta(2) = 5)，(\beta(3) = 1)，(\beta(4) = 2)，(\beta(5) = 3)，可表示为 (\beta = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{bma