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（1）为了创造出既具有自由流畅的建筑美感，又具备优异受力性能的自由曲面单层网壳结构，我们提出了一种基于节点构形度评价指标的形态优化方法。传统形态设计往往侧重于视觉效果，而忽略了结构内部的力学合理性。我们的方法旨在从结构力学的根源上优化形态。核心在于，我们引入了“节点构形度”这一关键参数，它能够量化评价结构中每个节点的连接性能和受力状态。节点构形度综合考虑了连接于该节点的各个杆件之间的夹角、杆件自身的刚度以及在特定荷载作用下节点产生的位移响应。一个理想的节点状态是，各杆件受力均匀，以轴向力为主，避免产生过大的弯矩和剪力，从而使得节点连接构造简单，传力路径清晰直接。为了在优化过程中保持曲面的光顺性和可控性，我们采用了非均匀有理B样条（NURBS）技术来描述和生成自由曲面。NURBS曲面由一系列控制点、权重因子和节点矢量唯一确定，通过调整这些参数，尤其是控制点的位置，可以灵活地改变曲面的形状。因此，我们将NURBS曲面所有控制点的三维坐标作为形态优化的设计变量。优化的目标函数被设定为最大化整个结构中节点构形度的最小值。这个目标函数的意义在于，它关注的是整个结构中最薄弱的环节，通过提升最差节点的性能来保证整个结构的整体稳定性和安全性。在优化过程中，我们还施加了一系列实际工程中必须满足的约束条件，包括结构总用钢量的上限以控制成本，最大节点位移的限制以保证结构的刚度，以及构件长细比的约束以防止杆件失稳。我们采用鲁棒性强、全局搜索能力出色的遗传算法（GA）作为优化工具。通过反复的“选择、交叉、变异”迭代过程，遗传算法能够在庞大的设计空间中搜索能够使目标函数最优的控制点坐标组合。优化结果表明，通过该方法得到的网壳结构形态，其内部杆件的受力模式得到了显著改善，绝大部分杆件以承受轴向压力为主，弯矩效应被大大削弱，整体受力更加合理，结构的极限承载能力和安全性得到了有效保障。
（2）在实际的建筑工程项目中，设计需求往往是多方面的，需要在结构的安全性、经济性和美观性等多个目标之间进行权衡。单一目标的优化方法难以满足这种复杂的需求。为此，我们针对自由曲面单层网壳结构，开展了基于多目标遗传算法（特别是NSGA-II）的形态优化设计研究。与单目标优化不同，多目标优化旨在寻找一组被称为“帕累托最优解集”（Pareto Front）的非支配解，这组解中的任何一个都无法在不牺牲其他目标性能的前提下改进某一个目标。这为设计师提供了一个包含多种权衡方案的“菜单”，可以根据具体的项目需求和偏好从中选择最合适的方案。在我们的研究中，我们将NURBS曲面控制点的高度（Z坐标）作为主要的优化变量，这允许我们在保持平面投影不变的情况下对曲面的起伏和形态进行微调。我们构建了三种具有代表性的多目标优化模型，以应对不同的工程设计场景。第一种组合是力学指标与几何指标的权衡，例如，我们同时优化结构的总应变能（代表结构整体刚度，越小越好）和杆件长度的标准差（代表网格划分的规整性，越小越好）。这种优化能够帮助设计师在保证结构刚度的同时，获得更加规整、美观的网格形态，便于构件的标准化生产和施工。第二种组合是力学指标与经济指标的权衡，例如，同时优化总应变能和结构总用钢量（代表结构的经济性，越小越好）。通过这种优化得到的帕累托前沿，可以清晰地揭示出结构刚度与建造成本之间的关系，设计师可以直观地看到，为了提升一定的刚度需要付出多大的经济代价，从而做出性价比最高的决策。第三种组合是不同力学性能指标之间的权衡，例如，同时优化总应变能和前文提到的最小节点构形度。这两个指标分别从结构整体刚度和局部节点稳定性的角度评价结构性能，同时优化它们可以获得一个在整体和局部性能上都表现优异的结构，其刚度和稳定承载力均能得到显著增强。通过这些多目标优化实践，我们发现NSGA-II算法能够有效地找到分布均匀、范围广泛的帕累托最优解集，为自由曲面网壳结构的精细化、定制化设计提供了一种强大而实用的技术手段。
（3）一个自由曲面单层网壳结构的最终力学性能，不仅取决于其宏观的建筑形态，还受到构成结构的基本单元——即每个杆件截面尺寸的深刻影响。形态决定了力的传递路径，而截面尺寸则决定了杆件自身的承载能力和刚度。这两个因素是相互耦合、相互影响的，孤立地对其中一个进行优化，往往无法达到真正的全局最优。为了最大限度地挖掘结构潜力，提高材料利用率和结构的极限承载力，我们提出了一种形态与截面协同优化的分层优化策略。该策略将复杂的协同优化问题分解为两个相互关联的子问题，并通过一个两层嵌套的优化流程来求解。外层优化负责宏观的形态搜索。在这一层，我们以结构的总应变能最小化为优化目标，因为总应变能是衡量结构整体刚度的最直接指标。设计变量是NURBS曲面的控制点高度。我们采用标准的遗传算法（GA）对外层问题进行迭代求解。在每一次外层迭代中，当遗传算法生成一个新的结构形态（即一组新的控制点高度）后，优化流程便进入内层。内层优化负责在当前给定的形态下，进行微观的杆件截面尺寸优化。在这一层，设计变量是结构中所有（或分组后的）杆件的截面尺寸，例如钢管的直径和壁厚。内层优化的目标可以是结构总用钢量最小化（在满足强度和稳定约束的前提下），或者是进一步降低结构的应变能。我们采用改进的遗传算法（例如，引入精英保留策略或自适应变异率）来高效地求解这个截面优化问题。当内层优化收敛，找到了当前形态下的最优截面尺寸组合后，会将此时结构的性能（如最小应变能）作为外层形态个体的适应度值，返回给外层遗传算法。外层算法根据这个适应度值进行“优胜劣汰”的选择操作，然后继续进行下一代的形态演化。这个“外层调形态，内层配截面”的迭代过程不断重复，直至外层优化收敛。通过这种分层协同优化的方法，我们能够确保每一次对形态的评估都是基于其最优的截面配置，从而避免了因截面尺寸不合理而对优秀形态的错误评价。最终，该方法能够找到一个最佳的结构形态以及与之完美匹配的杆件截面尺寸方案，实现了宏观形态与微观构造的和谐统一，其优化结果在结构力学性能上的提升效果，远优于单独进行形态优化或截面优化的方法。
function structural_optimization_ga()
% --- Problem Definition ---
% NURBS surface control points (Z-coordinates are variables)
control_points_xy = [0 0; 0 5; 0 10; 5 0; 5 5; 5 10; 10 0; 10 5; 10 10];
num_vars = size(control_points_xy, 1); % Number of control points' heights
% Bounds for Z-coordinates
lb = ones(1, num_vars) * 0; % Minimum height
ub = ones(1, num_vars) * 5; % Maximum height
% --- GA Parameters ---
options = optimoptions('ga', ...
'PopulationSize', 50, ...
'MaxGenerations', 100, ...
'Display', 'iter', ...
'PlotFcn', @gaplotbestf, ...
'CrossoverFraction', 0.8, ...
'EliteCount', 2);
% --- (1) Single-Objective Shape Optimization ---
disp('Running Single-Objective Shape Optimization (Minimizing Strain Energy)...');
fitness_function_single = @(z_coords) evaluate_structure_performance(z_coords, control_points_xy, 'single');
[best_z_single, min_energy] = ga(fitness_function_single, num_vars, [], [], [], [], lb, ub, [], options);
disp('Optimal Control Point Heights (Single Objective):');
disp(best_z_single);
disp(['Minimum Strain Energy: ', num2str(min_energy)]);
% --- (2) Multi-Objective Shape Optimization (NSGA-II) ---
disp('Running Multi-Objective Shape Optimization (Energy vs. Steel Weight)...');
options_nsga2 = optimoptions('gamultiobj', ...
'PopulationSize', 100, ...
'MaxGenerations', 150, ...
'Display', 'iter', ...
'PlotFcn', @gaplotpareto);
fitness_function_multi = @(z_coords) evaluate_structure_performance(z_coords, control_points_xy, 'multi');
[pareto_z, pareto_fvals] = gamultiobj(fitness_function_multi, num_vars, [], [], [], [], lb, ub, options_nsga2);
disp('Pareto Front Solutions Found.');
figure;
scatter(pareto_fvals(:,1), pareto_fvals(:,2), 'filled');
xlabel('Total Strain Energy');
ylabel('Total Steel Weight');
title('Pareto Front: Energy vs. Steel Weight');
grid on;
% --- (3) Hierarchical Optimization (Shape + Section) ---
% This is a conceptual representation. A full implementation is complex.
disp('Conceptualizing Hierarchical Optimization...');
% Outer loop: GA for shape (z_coords)
% Inner loop: GA for section sizes (for a given shape)
% The fitness of the outer loop GA is the result from the inner loop.
best_overall_energy = inf;
best_overall_shape = [];
best_overall_sections = [];
for i = 1:options.MaxGenerations % Simplified outer loop
% In a real scenario, this would be a GA population
current_shape_z = lb + (ub - lb) .* rand(1, num_vars);
% Inner loop optimization for sections
[optimal_sections, min_energy_for_shape] = optimize_sections_for_shape(current_shape_z, control_points_xy);
if min_energy_for_shape < best_overall_energy
best_overall_energy = min_energy_for_shape;
best_overall_shape = current_shape_z;
best_overall_sections = optimal_sections;
end
end
disp('Hierarchical Optimization Best Result (Conceptual):');
disp(['Shape (Z-coords): ', mat2str(best_overall_shape, 3)]);
disp(['Sections (e.g., area): ', mat2str(best_overall_sections, 3)]);
disp(['Minimum Energy: ', num2str(best_overall_energy)]);
end
function performance = evaluate_structure_performance(z_coords, xy_coords, type)
% Placeholder for a Finite Element Analysis (FEA) function
% This function would:
% 1. Construct the mesh from the full control points (xy_coords + z_coords)
% 2. Define material properties, loads, and boundary conditions
% 3. Run FEA to get displacements, stresses, etc.
% 4. Calculate performance metrics
% Simulate FEA results
num_nodes = length(z_coords) * 4; % Estimated number of nodes
num_elements = num_nodes * 2; % Estimated number of elements
% Metrics are functions of the geometry (z_coords)
strain_energy = sum(z_coords.^2) + 10*mean(abs(diff(z_coords))) + rand*0.1;
steel_weight = num_elements * mean(z_coords) * 5 + rand*0.1; % Proportional to size
% Add penalty for constraint violations (e.g., max displacement)
max_displacement = max(z_coords) / 10;
if max_displacement > 0.4
strain_energy = strain_energy * 100;
steel_weight = steel_weight * 100;
end
if strcmp(type, 'single')
performance = strain_energy;
elseif strcmp(type, 'multi')
performance = [strain_energy, steel_weight];
end
end
function [best_sections, min_energy] = optimize_sections_for_shape(z_coords, xy_coords)
% Placeholder for inner loop GA to optimize cross-sectional areas/dimensions
num_member_groups = 5;
lb_sec = ones(1, num_member_groups) * 1e-4; % Min area
ub_sec = ones(1, num_member_groups) * 1e-2; % Max area
% Simplified fitness: energy is a function of shape and section stiffness
fitness_sec = @(sections) evaluate_structure_performance(z_coords, xy_coords, 'single') / (mean(sections)*1e4);
% Run a quick GA for sections
options_inner = optimoptions('ga', 'PopulationSize', 20, 'MaxGenerations', 30, 'Display', 'off');
[best_sections, min_energy] = ga(fitness_sec, num_member_groups, [], [], [], [], lb_sec, ub_sec, [], options_inner);
end
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