Ito‘s lemma伊藤引理

Ito 1

如果F是关于随机变量X的函数（其中t是隐式呈现的），比如$F=X^2,F=e^X$等等，则根据Ito 1有随机微分：

$dF=\frac{dF}{dX}dX+\frac{1}{2}\frac{d^{2}F}{d{X}^2}dt$

注意：

1. $\frac{dF}{dX}$和$\frac{d^{2}F}{d{X}^2}$都是通过普通微分求导的方法得到，代入式中即可。其余的Ito也是一样。
2. 不需要考虑$\frac{dX}{dt}$(不适用链式法则)，是因为X处处连续，处处不可导。$\frac{dX}{dt}$并不存在。

Ito 2

如果F是关于随机变量X的函数（其中t是显式呈现的），比如$F=t^2+X_t^2$等，则需要进行二维的泰勒展开：

令$t\to t+dt,X_t\to X_t+d{X}_t$

$F(t+dt,X+dX)=F(t,X)+\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial X}dX+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X^2}d{X}^2+...$

$\Rightarrow dF=\frac{\partial F}{\partial X}dX+(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X^2})dt$

伊藤积分(对随机项的积分)

1. 从Ito 1开始

   ${\int }_0^t\frac{\partial F}{\partial X_s}d{X}_s=F(t,X_t)-F(0,X_0)-\frac{1}{2}{\int }_0^t\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X_s^2}ds$

2. 从Ito 2开始

   ${\int }_0^t\frac{\partial F}{\partial X_s}d{X}_s=F(t,X_t)-F(0,X_0)-{\int }_0^t(\frac{\partial F}{\partial s}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X_s^2}ds)$

Ito 3

随机变量S是满足几何布朗运动（$dS=uSdt+\sigma SdX$），要看S的函数V的随机微分方程是什么样的（时间t是隐式呈现的），则需要利用Ito 3.

根据伊藤乘法表可知：$d{S}^2=(adt+bdX{)}^2=b^{2}dt$，即$d{S}^2={\sigma }^2{S}^{2}dt$

$V(S+dS)\approx V(S)+\frac{dV}{dS}dS+\frac{1}{2}\frac{d^{2}V}{d{S}^2}d{S}^2$

将$V(S)$移到等是左边，将$dS$和$d{S}^2$的表达式代入，可得

$dV=\frac{dV}{dS}(\mu Sdt+\sigma SdX)+\frac{1}{2}\frac{d^{2}V}{d{S}^2}{\sigma }^2{S}^{2}dt$

$=(\mu S\frac{dV}{dS}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{d^{2}V}{d{S}^2})+\sigma S\frac{dV}{dS}dX$

使用场景：当你遇到一个随机变量的函数，而这个随机变量刚好满足几何布朗运动，则使用Ito 3写出函数的随机微分方程。最常见的服从几何布朗运动的随机变量，就是证券价格S。

Ito 4

随机变量S是满足几何布朗运动（$dS=uSdt+\sigma SdX$），要看S的函数V的随机微分方程是什么样的，则需要利用Ito 4。V中的t是显式呈现的（比如：$V=t^2+S^2;V=t{e}^S;V=t^2+logS$），即：$V=V(t,S),S\to GBM$

$V(t+dt,S+dS)=V(t,S)+\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}d{S}^2$

其中：$dS=\mu Sdt,d{S}^2={\sigma }^2{S}^{2}dt$，代入上式，得到：

$dV=(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dX$

Ito 5

针对多因子模型的Ito。有相关性的随机游走。

比如：两只股票的价格$S_1,S_2$，价格的SDE形式为：$d{S}_i={\mu }_i{S}_{i}dt+{\sigma }_i{S}_{i}d{X}_i$，可知：

$d{S}_i^2={\sigma }^2{S}_i^{2}dt$

$d{S}_{1}d{S}_2=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2{S}_1{S}_{2}dt$

$E[d{X}_{1}d{X}_2]=\rho dt$

关于S和t的函数形式为：$V=V(t,S_1,S_2)$，时间t是显示存在的。做三维泰勒展开可得：

$V(t+dt,S_1+d{S}_1,S_2+d{S}_2)=V(t,S_1,S_2)+\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S_1}d{S}_1+\frac{\partial V}{\partial S_2}d{S}_2+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_1^2}d{S}_1^2+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_2^2}d{S}_2^2+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_1\partial S_2}d{S}_{1}d{S}_2$

将前面的$d{S}_i,d{S}_i^2,d{S}_{1}d{S}_2$代入上式，移项后可得：

$dV=(\frac{\partial V}{\partial t}+{\mu }_1{S}_1\frac{\partial V}{\partial S_1}+{\mu }_2{S}_2\frac{\partial V}{\partial S_2}+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{S}_1^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_1^2}+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{S}_2^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_2^2}+\rho {\sigma }_1{\sigma }_2{S}_1{S}_2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S_1\partial S_2})dt+{\sigma }_1{S}_1\frac{\partial V}{\partial S_1}d{X}_1+{\sigma }_2{S}_2\frac{\partial V}{\partial S_2}d{X}_2$