图像的卷积(滤波)运算(一)——图像梯度

1. 卷积/滤波原理

首先要明确的一点是图像的卷积/滤波运算，是针对原图像每一个像素进行处理，得到一个新的图像的过程。那么进行怎么样的运算呢？要知道图像能够被人所识别，是因为图像中每个像素并不完全是离散而独立的，每个像素都跟周围的像素相关。因此，对每一个像素，选定其周围一定范围内的像素值进行运算，得到新的图像的像素值也一定是相关的。而这个范围，就是卷积/滤波的窗口。

只有相关的像素值是不够的，还需要改变因子——也就是我们说的卷积核了。它就是之前说的卷积/滤波的窗口大小，通常由数学原理推导出来的。

最后，将窗口内覆盖的像素值和卷积核值相乘并相加，就得到新的像素值填充到新的图像中。对每个像素值都这样做，就是卷积/滤波运算后新的图像了。

2. 具体实例

以X方向上的一维卷积/滤波为例，选取一个卷积核(-1,0,1)，对于图像像素X，其卷积运算的结果Y=-1 × Xa + 0 × X + 1 × Xb，即总是X的后一个像素与前一个像素之差。示意图如下：.

其具体实现代码：

#include <iostream>
#include <opencv2\opencv.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;

int main()
{
	//从文件中读取成灰度图像
	const char* imagename = "D:\\Data\\imgDemo\\lena.jpg";
	Mat img = imread(imagename, IMREAD_GRAYSCALE);
	if (img.empty())
	{
		fprintf(stderr, "Can not load image %s\n", imagename);
		return -1;
	}

	//OpenCV函数进行一维卷积（梯度图）
	Mat xKernel = (Mat_<double>(1, 3) << -1, 0, 1);			//卷积算子
	Mat Ix;
	filter2D(img, Ix, -1, xKernel);

	//自建算法进行一维卷积（梯度图）
	Mat Ixx;
	Ixx.create(img.cols, img.rows, CV_8UC1);
	double xk[3] = { -1, 0, 1 };			//卷积算子
	for (int i = 0; i < img.rows; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < img.cols; ++j)
		{
			//img.at<uchar>(i, j) = 255;
			uchar b[3] = { 0 };
			b[0] = (j == 0 ? 0 : img.at<uchar>(i, j - 1));
			b[1] = img.at<uchar>(i, j);
			b[2] = (j == img.cols - 1 ? 0 : img.at<uchar>(i, j + 1));

			double value = xk[0] * b[0] + xk[1] * b[1] + xk[2] * b[2];
			value = (std::min)(std::max(value, 0.0), 255.0);
			Ixx.at<uchar>(i, j) = (uchar)value;
		}
	}

	//比较两者的结果
	Mat c;
	compare(Ix, Ixx, c, CMP_EQ);

	//显示图像
	imshow("原始", img);
	imshow("梯度图(CV)", Ix);
	imshow("梯度图(MY)", Ixx);
	imshow("比较结果", c);

	waitKey();
	return 0;
}

在这里分别通过OpenCV的filter2D和自己的算法实现了X方向上的一维卷积/滤波运算，显示了其结果图。最后还用compare函数比较两者的差异，纯白（像素值255）色表示两者无差异。其运行结果如下：

3. 图像梯度图

这里的卷积核(-1,0,1)其实是从图像的梯度推导出来的。如果把图像看作是函数f(x),那么其X方向上梯度也就是函数X方向上的变化率为：

对所有的像素卷积运算都会除以2，对结果无关紧要，因此可以将其舍弃。最后就得到卷积核（-1，0，1）。
除此之外，也可以在Y方向上进行卷积，得到Y方向上的卷积图，只不过卷积核需要转置。

4. 参考资料

1.图像梯度的基本原理
2.图像梯度计算