线段树专题

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本文深入解析线段树的定义、构造方法、更新与查询操作，通过RMQ问题实例展示线段树在查找最小值问题上的高效应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

线段树的定义：

首先，线段树是一棵“树”，而且是一棵完全二叉树。同时，“线段”两字反映出线段树的另一个特点：每个节点表示的是一个“线段”，或者说是一个区间。事实上，一棵线段树的根节点表示的是“整体”的区间，而它的左右子树也是一棵线段树，分别表示的是这个区间的左半边和右半边。在此我们可以举一个例子来说明线段树通常的构造方法，以RMQ问题为例：有N个数排成一排，每次询问某一段中的最小数。构造的时候，让根节点表示区间[0,N-1]，即所有N个数所组成的一个区间，然后，把区间分成两半，分别由左右子树表示。不难证明，这样的线段树的节点数只有2N-1个，是O(N)级别的，如图：

对于每个节点，不但要知道它所表示的区间，以及它的儿子节点的情况，也记录一些别的值，不然，一棵孤零零的树能有什么用？在这个例子里，由于要查询的东西是最小值，不妨在每个节点内记录下它所表示区间中的最小值。这样，根据一个线性表构造出线段树的方法也就简单明白了：

线段树的建立：

#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 55555;
int sum[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		scanf("%d",&sum[rt]);
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	PushUP(rt);
}

线段树的更新：

void update(int p,int add,int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		sum[rt] += add;
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if (p <= m) update(p , add , lson);
	else update(p , add , rson);
	PushUP(rt);
}

线段树的询问：

int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		return sum[rt];
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	int ret = 0;
	if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
	if (R > m) ret += query(L , R , rson);
	return ret;
}