算法读书笔记：开关灯与质因数分解

现在给出一个范围[1, N]编号的灯，现在所有灯都是关的

第一个人把是1的倍数的灯都打开，

第二个人把所有2的倍数的灯打开，

第三个人把所有3的倍数的灯打开，

照着样子算下，问有那些灯是关的，那些是开的？

对于任意一个数字X 属于 [1, N] ,他被开或者关的次数是可以知道的，比如

12号灯会被 1,2,3,4,6,12个人开关，显然可以知道，刚开始是关的，那么

偶数次开关之后还是关的，奇数次之后才是开的，

因为是倍数的原因，我们可以看到，这些数字都是12的因数，

对于指定的X，X的开关是掌握在X的因数的个数上的，

初等数论，一个数X总是可以表示成一系列素数的幂次的积X = 2^n 3^m 5^q......

那么用f(X) 表示数字X的因数个数，即f(X) = (n +1)(m + 1)(q + 1)....

在这里，我们分情况讨论一下

如果所有的n,m,q,......都是偶数的话，f(X)是奇数

如果存在任意一个n(或者m,q) 是奇数的话，那么f(X)是偶数

对于一个数字X，如果他的素数幂次都是偶数的话，数字X是一个平方数

现在我们反推回去，数字X是一个平方数，他的因数个数f(X)是一个奇数，f(X)是奇数的话他的灯是开的