NOIP 2016 愤怒的小鸟

最新推荐文章于 2023-01-04 15:48:08 发布

我要吃熊猫

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分类专栏：状压DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chai_jing/article/details/67096324

状压DP 专栏收录该内容

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本文介绍了一道名为“愤怒的小鸟”的编程竞赛题目，该题目要求使用状压DP算法来解决如何用最少数量的小鸟消灭所有小猪的问题，并给出了详细的解题思路和核心代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于（0,0)处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如y=ax^2+bx的曲线，其中a,b是Kiana指定的参数，且必须满足a<0。

当小鸟落回地面（即x轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有n只绿色的小猪，其中第i只小猪所在的坐标为(xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi,yi),那么第i只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于（1,3)和（3,3)，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为y=-x^2+4x的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式
输入格式：

第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用只小鸟即可消灭所有小猪。

如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少只小猪。

保证1<=n<=18，0<=m<=2，0 < xi,yi < 10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号和分别表示对c向上取整和向下取整

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量

输入输出样例

输入样例#1：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例#1：
1
1

输入样例#2：
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

输出样例#2：
2
2
3

输入样例#3：
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

输出样例#3：
6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【分析】
尹神orz，这题我暴搜了一个多小时搜了60，我尹60行搞定。

我的非正解方法是深搜，先预处理出n只猪和t只小鸟的关系，如果第i只猪能被第j只小鸟砸中，那么两者连一条边，问题转化为如何用最少的小鸟点覆盖所有的猪。然后瞎胡搜也不会剪枝，于是光荣TLE。当然某些同学也能搜出来，我不太行啊…

正解是状压dp。预处理出f[i][j]，表示第i只猪和第j只猪被一只鸟打掉的同时，这只鸟还能打到哪些猪（0表示打不到，1表示能打到，用二进制表示出来，包括i,j两猪）。
枚举0~1<<(n-1)的所有状态，先找出第一只没有被打掉的猪k（早打晚打都要打），然后枚举k以后的猪，相当于枚举包含猪k的抛物线，用前面的状态更新后面的状态，用到或运算。

核心代码如下
dp[0]=0;
fo(i,0,(1<<n)-2) //枚举状态
{
    k=0;
    while((1<<k)&i) k++;k++; //第k头猪是第一个没有被干掉的猪
    dp[i|(1<<(k-1))]=min(dp[i|(1<<(k-1))],dp[i]+1);
    fo(j,k+1,n) 
      dp[i|f[k][j]]=min(dp[i|f[k][j]],dp[i]+1);
}
dp[(1<<n)-1]即为答案

【代码】

//NOIP 2016 愤怒的小鸟(状压dp)
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define M(a) memset(a,0,sizeof a)
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const double eps=1e-10;
int T,n,m;
double x[20],y[20];
int f[20][20],dp[1<<19];  //f[i][j]表示i,j两猪被打下的小鸟还能打下哪只猪 
inline void calc()
{
    int i,j,k;
    fo(i,1,n)
      fo(j,i+1,n)
      {
          double x11=x[i],y11=y[i],x22=x[j],y22=y[j];
          double a=(x11*y22-x22*y11)/(x11*x22*(x22-x11));
          double b=(x11*x11*y22-x22*x22*y11)/(x11*x22*(x11-x22));
          if(a>=0) continue;
          fo(k,1,n)
          {
              double tmp=a*x[k]*x[k]+b*x[k];
              if(y[k]-eps<=tmp && tmp<=y[k]+eps) 
                f[i][j]|=(1<<(k-1));
          }
      }
}
inline int dynamic()
{
    int i,j,k;
    dp[0]=0;
    fo(i,0,(1<<n)-2)
    {
        k=0;
        while((1<<k)&i) k++;k++; //第k头猪是第一个没有被干掉的猪
        dp[i|(1<<(k-1))]=min(dp[i|(1<<(k-1))],dp[i]+1);
        fo(j,k+1,n) 
          dp[i|f[k][j]]=min(dp[i|f[k][j]],dp[i]+1);
    }
    return dp[(1<<n)-1];
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {    
        M(f);
        memset(dp,0x3f,sizeof dp);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        fo(i,1,n) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        calc();
        printf("%d\n",dynamic());
    }
    return 0;
}
/*
1
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
*/