最长公共子序列(LCS)

一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，

LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

1、如果xm=yn，则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。

2、如果xm!=yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }

LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]

求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。

代码如下：

import java.util.Random;
/*
 * 最长公共子序列
 */
public class LCS{  
    char[][] b;
    int[][] c;
    public static void main(String[] args){  

        //设置字符串长度  
        int substringLength1 = 10;  
        int substringLength2 = 15;  //具体大小可自行设置  

        // 随机生成字符串  
        String x = GetRandomStrings(substringLength1);  
        String y = GetRandomStrings(substringLength2);  

        Long startTime = System.nanoTime();  
        // 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度  

        System.out.println("substring1:"+x);  
        System.out.println("substring2:"+y);  
        x=" "+x;
        y=" "+y;
        LCS lcs=new LCS();
        lcs.lcsLength(x, y);
        lcs.printLcs(x, x.length()-1, y.length()-1);
    }  
  public void lcsLength(String x,String y){
       int m=x.length();
       int n=y.length();
       b=new char[m][n];
       c=new int[m+1][n+1];
       for(int i=1;i<m+1;i++){
           c[i][0]=0;
       }
       for(int i=0;i<m+1;i++){
           c[0][i]=0;
       }
       for(int i=1;i<m;i++){
           for(int j=1;j<n;j++){
               if(x.charAt(i)==y.charAt(j)){
                   c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                   b[i][j]='m';
               }else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
                   c[i][j]=c[i-1][j];
                   b[i][j]='t';
               }else {
                   c[i][j]=c[i][j-1];
                   b[i][j]='r';
               }

           }
       }

   }

   public void printLcs(String x,int i,int j){
       if(i==0||j==0)
           return;
       if(b[i][j]=='m'){
           printLcs(x, i-1, j-1);
           System.out.print(x.charAt(i));
       }else if(b[i][j]=='t')
           printLcs(x, i-1, j);
       else
           printLcs(x, i, j-1);

   }
    //取得定长随机字符串  
    public static String GetRandomStrings(int length){  
        StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");  
        StringBuffer sb = new StringBuffer();  
        Random r = new Random();  
        int range = buffer.length();  
        for (int i = 0; i < length; i++){  
            sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));  
        }  
        return sb.toString();  
    }  
}