【ICPC-250】hdu 4291 A Short problem

最新推荐文章于 2017-08-09 08:47:14 发布

玄苦大师233

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分类专栏： 3. ACM-ICPC

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本文详细介绍了如何使用矩阵快速幂和循环节的概念解决数列求解问题，具体以HDU4291为例，通过找到数列的循环节来优化计算过程，从而实现高效求解。重点讲解了嵌套循环节的识别方法及矩阵快速幂的运用，适合算法爱好者和计算机科学领域的读者深入理解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

点击打开hdu 4291

思路: 循环节+矩阵快速幂

分析:

1 题目给定g(n) = 3*g(n-1)+g(n-2) , g(1) = 1 , g(0) = 0 , 要求g(g(g(n)))%10^9+7

2 最初的想法是从里面一层一层的求出g(n)，每一次都利用矩阵快速幂。但是发现嵌套的时候只有最外层是%(10^9+7)，但是里面两层如果%(10^9+7)的话答案是错的。

那么这里涉及到了循环节，最外层%(10^9+7)，肯定有个循环节L1。那么我们可以通过求出的L1找到第二层的循环节为L2，通过第二层的循环节L2找到第三层的循环节L3

3 找循环节我们利用暴力求出即可。然后我们回答最初的思路上，只要做三次的矩阵快速幂，然后把相应要mod上相应的值即可

代码:


/************************************************
 * By: chenguolin                               * 
 * Date: 2013-08-30                             *
 * Address: http://blog.youkuaiyun.com/chenguolinblog *
 ************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef __int64 int64;
const int N = 2;

int64 n;
struct Matrix{
    int64 mat[N][N];
    int64 MOD;
    Matrix operator*(const Matrix& m)const{
          Matrix tmp;
          tmp.MOD = MOD;
          for(int i = 0 ; i < N ; i++){
              for(int j = 0 ; j < N ; j++){
                  tmp.mat[i][j] = 0;
                  for(int k = 0; k < N ; k++)
                      tmp.mat[i][j] += mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
                  tmp.mat[i][j] %= MOD;
              }
          }
          return tmp;
    }
};

int64 Pow(Matrix m , int64 x , int64 MOD){
    if(x <= 1) return x;
    Matrix ans;
    ans.MOD = m.MOD = MOD;
    ans.mat[0][0] = ans.mat[1][1] = 1;
    ans.mat[1][0] = ans.mat[0][1] = 0;
    x--;
    while(x){
        if(x%2)
            ans = ans*m;
        x /= 2;
        m = m*m;
    }
    return ans.mat[0][0]%MOD;
}

// 暴力找到循环节
int64 getLoop(int64 MOD){
    int64 pre1 = 1;
    int64 pre2 = 0;
    for(int64 i = 2 ; ; i++){
        int64 x = 3*pre1%MOD+pre2%MOD;
        x %= MOD;
        // update
        pre2 = pre1;
        pre1 = x;
        int64 y = 3*pre1%MOD+pre2%MOD;
        if(x == 0 && y == 1){
            return i;
        } 
    }
}

int main(){
    int64 L1 = 1e9+7; 
    int64 L2 = 222222224;
    int64 L3 = 183120;
    Matrix m;
    m.mat[0][0] = 3; m.mat[1][1] = 0;
    m.mat[0][1] = 1; m.mat[1][0] = 1;
    while(scanf("%I64d" , &n) != EOF){
         int64 x = Pow(m , n , L3);
         int64 y = Pow(m , x , L2);
         int64 ans = Pow(m , y , L1);
         printf("%I64d\n" , ans);
    }
    return 0;
}