bzoj3143: [Hnoi2013]游走【概率dp+高斯消元】

最新推荐文章于 2021-01-03 16:35:55 发布

Neo__Z

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分类专栏：高斯消元 --------动态规划-------- 期望dp bzoj

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本文介绍了一种算法，用于解决图论中的问题——如何给图中的边编号以使随机游走在图上的期望得分最小。文章详细解释了计算每个节点期望值的方法，并提供了一个具体的实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3

2 3

1 2

1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

解题思路：

首先贪心是显然的：让期望通过次数多的边编号小。
那如何算一条边的期望呢？
先算点的期望 $f[i]$ ，那么:
$g[e]=f[x]/du[x]+f[y]/du[y],x\ne n且y\ne n$
$g[e]=f[x(y)]/du[x(y)],x(y)=n$
点的期望列方程用高斯消元算：
$f[n]=1;$
$f[1]=\sum\limits_{j\ne n,j->1}\frac{1}{deg[j]}f[j]+1;$
$f[i]=\sum\limits_{j\ne n,j->i}\frac{1}{deg[j]}f[j];$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=505,M=250000;
int n,m,X[M],Y[M],du[N];
double a[N][N],f[N],g[M],ans;

void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!a[i][i])for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j][i])
            {
                for(int k=i;k<=n+1;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
                break;
            }
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            double b=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=b*a[i][k];
        }
    }
    for(int i=n;i;i--)
    {
        a[i][n+1]/=a[i][i],f[i]=a[i][n+1],a[i][i]=1;
        for(int j=i-1;j;j--)a[j][n+1]-=a[j][i]*f[i],a[j][i]=0;
    }
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=1;i<=m;i++)X[i]=getint(),Y[i]=getint(),du[X[i]]++,du[Y[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++)if(X[i]!=n&&Y[i]!=n)
        a[X[i]][Y[i]]+=1.0/du[Y[i]],a[Y[i]][X[i]]+=1.0/du[X[i]];
    for(int i=1;i<n;i++)a[i][i]=-1;
    a[1][n+1]=-1,a[n][n]=a[n][n+1]=1;
    gauss();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=X[i],y=Y[i];if(x>y)swap(x,y);
        if(y==n)g[i]=f[x]/du[x];
        else g[i]=f[x]/du[x]+f[y]/du[y];
    }
    sort(g+1,g+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)ans+=(m+1-i)*g[i];
    printf("%0.3lf",ans);
    return 0;
}