bzoj1597 土地购买【斜率优化dp】

最新推荐文章于 2019-11-05 22:53:27 发布

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本文介绍了一种基于决策单调性的动态规划问题解决方法，通过优化DP方程实现高效求解。文章详细阐述了如何通过去除冗余决策点并利用单调队列来减少计算复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解题思路：

我们先将土地按 $x$ 值排序。
很容易得到一个 $O(n^2)$ 的dp方程：
$f[i]=min(f[j-1]+x[i]*max(y[k]),1\le j\le i,j\le k \le i$ ，
处理j时倒着循环，每次就可以O(1)得到 $max(y[k])$ 了。

其实我们可以把每块土地看做平面上的一个点 $(x,y)$ ，如图：
这里写图片描述

那么注意到红色的点是可以忽略的，因为它可以和 $x,y$ 均比它大的点一起买掉，所以我们可以先去掉这些点，那么剩下的点 $y$ 随 $x$ 单调递减，方程变为：
$f[i]=min(f[j-1]+x[i]*y[j]),1\le j\le i$ 。
这就是个决策单调性的经典模型了。

若决策 $j$ 优于决策 $k(k<j)$ ，那么有
$f[j-1]+x[i]*y[j]<f[k-1]+x[i]*y[k]$
移项得
$f[j-1]-f[k-1]<x[i]*(y[k]-y[j])$
即是：
$x[i]>\frac{f[j-1]-f[k-1]}{y[k]-y[j]}$
用单调队列维护即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<complex>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();c!='-'&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=50005;
const ll INF=1e18;
struct node
{
    int x,y;
    inline friend bool operator < (const node &a,const node &b)
    {
        return a.x<b.x;
    }
}a[N];
int n,q[N];
ll f[N];

ll calc(int i,int j)
{
    return f[j-1]+1ll*a[i].x*a[j].y;
}

bool check(int i,int j,int k)
{
    return 1ll*(f[i-1]-f[j-1])*(a[k].y-a[j].y)<1ll*(f[j-1]-f[k-1])*(a[j].y-a[i].y);
}

void solve()
{
    sort(a+1,a+n+1);
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(top&&a[i].y>=a[top].y)top--;
        a[++top]=a[i];
    }
    n=top;
    int head=1,tail=1;
    q[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&calc(i,q[head+1])<calc(i,q[head]))head++;
        f[i]=calc(i,q[head]);
        while(head<tail&&check(i+1,q[tail],q[tail-1]))tail--;
        q[++tail]=i+1;
    }
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("lx.out","w",stdout);
    n=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].x=getint(),a[i].y=getint();
        f[i]=INF;
    }
    solve();
    cout<<f[n];
    return 0;
}