NOIP模拟 Game 【博弈论】【动态规划】

最新推荐文章于 2022-05-28 22:28:36 发布

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博弈论

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本文解析了一道关于两人轮流取物的博弈问题，通过动态规划求解先手最多能比后手多取得的价值。采用二维DP数组，第一维表示从当前物品开始，第二维表示先手取物品的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

有n个物品排成一排，从左往右第i个价值为a[i]，有两个人从左往右轮流取物品。第一个人可以拿一或两个物品。如果前一个人拿了k个，下一个人只能拿k或k+1个。如果剩下的物品不够拿，就结束。问如果大家都采取最优策略，那么先手拿的物品的价值最多能比后手多多少。（1 $\le$ n $\le$ 20000）

解题思路：

设dp[i][k]表示从第i个物品开始先手拿k个后最多能比后手多取的价值，则：
dp[i][k]=sum[i~i+k-1]+max（dp[i+k][k],dp[i+k+1][k+1]）
注意到k最多取到200（20000<1+2+……+200）,所以第二维只用开到200即可。
（考试时想到了k的取值范围但不知为何脑抽了……）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=20005,K=205;
int T,n;
ll a[N],dp[N][K];

int main()
{
    //freopen("game.in","r",stdin);
    //freopen("game.out","w",stdout);
    T=getint();
    while(T--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(a,0,sizeof(a));
        n=getint();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=a[i-1]+getint();
        for(int i=n;i;i--)
            for(int k=1;i+k-1<=n&&k<=i+1&&k<=200;k++)
                dp[i][k]=a[i+k-1]-a[i-1]-max(dp[i+k][k],dp[i+k][k+1]);
        /*for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                printf("dp[%d][%d]: %d\n",i,k,dp[i][k]);*/
        cout<<max(dp[1][1],dp[1][2])<<'\n';
    }
    return 0;
}