NOIP模拟 分玩具【博弈论】【动态规划】

题目描述

豆豆和豆沙正在分一些玩具，每个玩具有一个好玩值，每个人可以拿走任意数量的玩具，获得的愉快度为最小的好玩值。现在豆豆先拿，每个人轮流操作，直到没有玩具可以拿。两人都按最优策略选玩具，豆豆想知道他能比豆沙多出多少愉快度？

输入格式

第一行 N 表示玩具个数。
接下来一行 N 个整数表示第 i 个玩具的好玩值。

输出格式

输出一个整数表示最多多出的愉快度。

样例数据 1

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3
1 3 1
输出

2
备注
【数据范围】
对于 30% 的数据，N≤10。
对于 70% 的数据，N≤1000。
对于 100 %的数据，N≤1000000，0≤数值范围≤1e9。

解题思路：

先将数组从大到小排序。
若一个人选了玩具1~i最优，则它的愉悦值为a[i];
轮到另一个人选，由于他也按最优策略选，所以是个完全相同的子问题。

假设玩具1~i-1已被选；
我们设dp[i]表示A从i开始先手选玩具可得到的最大差，设他选到了玩具j，那么他获得了a[j]的愉悦值，现在就轮到B从j+1开始选，那他可获得的最大差为dp[j+1],所以A的愉悦值将会比B多a[j]-dp[j+1]。
得到dp方程：dp[i]=max(a[j]-dp[j+1]),i$\le$j$\le$n。复杂度为O($n^2$);
而我们是从n到1进行dp，就可以维护a[j]-a[j+1]的最大值，从而使复杂度降至O(n)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

int getint() 
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=1e6+5;
int n,mx,a[N],dp[N];

bool cmp(const int &a,const int &b)
{
    return a>b;
}

int main()
{
    //freopen("toy.in","r",stdin);
    //freopen("toy.out","w",stdout);
    n=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=getint();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=n;i>=1;i--)
        dp[i]=mx=max(mx,a[i]-dp[i+1]);
    cout<<dp[1];
    return 0;
 }