洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2023-01-11 15:07:24 发布

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本文深入探讨了如何通过优化枚举和使用整除分块技巧来加速数学算法，特别是在处理涉及gcd（最大公约数）的问题中。通过具体的代码实现，展示了如何预处理穆比乌斯函数和求和，以及如何应用这些技巧来解决复杂问题。

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P1829

我又来推式子了（~~找虐了~~），假设n<=m

$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}$

这个gcd作分母看起来有点麻烦，我们去掉它：

$ans=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]\frac{ij}{d}$

与其枚举两个数看他们的gcd是否等于d，不如直接枚举d的倍数：

$ans=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]ijd$

把d提前：

$ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]ij$

$[gcd(i,j)=1]\Leftrightarrow \sum_{x|gcd(i,j)}\mu (x)$

代换：

$ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}\sum_{x|gcd(i,j)}\mu (x)ij$

再次切换枚举，从枚举因数到枚举倍数：

$ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{x=1}^{\frac{n}{d}}\mu (x)\sum_{i=1}^{\frac{n}{dx}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dx}}ijx^2$

化简：

$ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{x=1}^{\frac{n}{d}}\mu (x)x^2(\sum_{i=1}^{\frac{n}{dx}}i)(\sum_{j=1}^{\frac{m}{dx}}j)$

接下来我们打表u(x)x^2和等差数列求和，只用枚举d，然后用整除分块求后面的式子就行了。//后面还可以优化哦

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+5,mod=20101009;
int vis[maxn],pri[maxn],mu[maxn],cnt;
int g[maxn],sum[maxn];
void get_mu(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=(sum[i-1]+i)%mod;
		g[i]=(g[i-1]+1ll*mu[i]*i*i%mod)%mod;	
	}
}
int main()
{
	int n,m;
	ll ans=0;
	get_mu(1e7);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int nn=n/i,mm=m/i;
		for(int l=1,r;l<=nn;l=r+1)
		{
			r=min(nn/(nn/l),mm/(mm/l));
			ans+=1ll*i*(g[r]-g[l-1]+mod)%mod*sum[nn/l]%mod*sum[mm/r]%mod;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans%mod);
}

其实我们可以把第一层for循环枚举也来整除分块，这样更快哦。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+5,mod=20101009;
int vis[maxn],pri[maxn],mu[maxn],cnt;
int g[maxn],sum[maxn];
void get_mu(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=(sum[i-1]+i)%mod;
		g[i]=(g[i-1]+1ll*mu[i]*i*i%mod)%mod;	
	}
}
ll work(int n,int m)
{
	ll ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans+=1ll*(g[r]-g[l-1]+mod)%mod*sum[n/l]%mod*sum[m/r]%mod;
	}	
	return ans;
}
ll cal(int n)
{
	return 1ll*n*(n+1)/2%mod;
}
int main()
{
	int n,m;
	ll ans=0;
	get_mu(1e7);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans+=(cal(r)-cal(l-1)+mod)*work(n/l,m/l)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans%mod);
}