CodeForces 859C Pie Rules(DP + 思维)

本文解析了一个关于两人轮流选择面包的博弈问题,并通过动态规划的方法找到了最优解。该问题中,Bob和Alice轮流选择面包,目标是使各自获得的面包总量最大化。

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题意:两个人Bob和Alice分面包,各种大小的面包顺序是固定的,拿到令牌的一方对当前面包的归属有决定权(可以给自己;也可以不给自己),同时令牌要交给没得到面包的一方(对于当前拿到令牌的人,有两种情况:面包给对方,令牌继续保留;面包给自己,令牌交给对方)。开始令牌在Bob手中,俩人足够聪明,问最后Alice和Bob各自得到多少面包?

思路:很多特征都使问题像是个博弈,但这里没有输赢,只是双方都采取最佳策略使自己获得面包的量尽可能的大,如果纯粹的去找博弈论的相关解法,很难下手。这里可以想到,当前无论谁拿到令牌,拿不拿面包都是确定的,都会使自己结果最优,所以可以利用DP求解,设dp[i]表示在分配第i个面包时拿到令牌的人,在[i,n]区间的面包中所能获得的最大量,根据不拿或者拿,下一步有两种策略(具体见题意部分),所以状态转移方程为:

dp[i] = max{dp[i + 1],sum[i,n] - dp[i + 1]},1 <= i < n。

那么dp[1]即为Bob最后获得的面包最大量;sum[1,n] - dp[1]即为Alice获得的面包最大量。

代码:

// CodeForces 859C Pie Rules 运行/限制:15ms/2000ms
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	int slice[60], sum[60], dp[60];
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		sum[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &slice[i]);
			sum[i] = sum[i - 1] + slice[i];
		}
		dp[n] = slice[n];
		for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
			dp[i] = max(dp[i + 1], sum[n] - sum[i - 1] - dp[i + 1]);
		}
		printf("%d %d\n", sum[n] - dp[1], dp[1]);
	}
    return 0;
}


引用\[1\]中提到了一种树形动态规划的方法来解决CodeForces - 982C问题。在这个问题中,subtree指的是子连通块,而不是子树。为了使cnt_white - cnt_black尽可能大,可以使用两次树形动态规划来求解。第一次是自底向上的过程,维护一个dp数组,表示以每个节点为根的子树中的最大连通块。第二次是自顶向下的过程,处理自底向上过程中无法包含的树链所代表的子树。在第二次遍历中,需要维护一个sum变量,用于存储树链所代表的子树的贡献。根据ans\[u\]的正负,决定是否能对相邻的子节点做出贡献。如果ans\[u\]为正,则减去dp\[v\]就是树链所代表的子树的权值。最终,ans\[u\]代表包含节点u在内的子连通块的最大权值。\[1\] 问题: CodeForces - 982C 树形DP是什么问题?如何解决? 回答: CodeForces - 982C是一个树形动态规划问题。在这个问题中,需要求解子连通块的最大权值和,使得cnt_white - cnt_black尽可能大。解决这个问题的方法是使用两次树形动态规划。第一次是自底向上的过程,维护一个dp数组,表示以每个节点为根的子树中的最大连通块。第二次是自顶向下的过程,处理自底向上过程中无法包含的树链所代表的子树。在第二次遍历中,需要维护一个sum变量,用于存储树链所代表的子树的贡献。根据ans\[u\]的正负,决定是否能对相邻的子节点做出贡献。最终,ans\[u\]代表包含节点u在内的子连通块的最大权值。\[1\] #### 引用[.reference_title] - *1* *2* [CodeForces - 1324F Maximum White Subtree(树形dp)](https://blog.youkuaiyun.com/qq_45458915/article/details/104831678)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^koosearch_v1,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] [ .reference_list ]
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