看懂树状数组

恩，今天一下午都花在搞树状数组上面去了吧。现在才认清楚树状数组的一些东西。

我们先看树状数组的结构

如图

他的规律就是c[x]永远有一条线连到a[x],c[x]之前绝对没有连到a[x]的线

                      c[2^n]=a[1]到a[2^n]的和

                      c[2k+1]=a[2k+1]

                      c[2^n-2k]=c[2^(n-1)]+a[2^(n-1)+1]到a[2^n-2k]的和（2^n-2k>2^(n-1)）

现在介绍三个函数

第一个函数：

    int lowbit(int x)  
    {  
        return x&(-x);  
    }  

x+=lowbit（x）得到的就是包括c[x]的最近一个节点的下标

可以看到，如果我要维护数组c那么，如果我的a[5]改变了x的话我就要把所有包含a[5]的数组c中元素改变x

这样就引出了我们的第二个函数

维护函数

    void update(int x,int num)  
    {  
        while(x<=N)  
         {  
             d[x]+=num;  
             x+=lowbit(x);  
         }  
    }  

这里的x为我改变的a数组中元素的下标，num为要改变的值，N为数组上限

可以看到a[1]到a[7]的和为c[7]+c[6]+c[4]

7-lowbit(7)=6

6-lowbit(6)=4

现在我们可以看到x-lowbit(x)的作用了吧

那么我们引出最后一个函数，求和函数

    int getSum(int x)  
    {  
        int s=0;  
        while(x>0)  
         {  
             s+=d[x];  
             x-=lowbit(x);  
         }  
        return s;  
    }  

这个函数返回的就是a[x]到a[0]的和

有了这三个函数我们就可以解决更新每个点的值，最后求一段区间的值的和 的问题了

然而oj上还有另一种问题

：更新一段区间上的值最后求一个点的值

这时候就要反着来了

对于区间[a,b],每个元素的值改变x

那么我们的维护代码是这样的

void update(int x,int num)  
    {  
        while(x>0)  
         {  
             d[x]+=num;  
             x-=lowbit(x);  
         }  
    } 

update(b,1);

update(a-1,-1);

举个例子，对于区间[2,7]来说

我们把c[7],c[6],c[4]全部+1

           c[1]全部-1

为什么要这样维护呢

接下来我们看求和代码就知道了

int getSum(int x)  
    {  
        int s=0;  
        while(x<=N)  
         {  
             s+=d[x];  
             x+=lowbit(x);  
         }  
        return s;  
    }

求和代码是把所有包括a[x]的c中的元素全部加起来

比如 x=3的话s就等于c[3]+c[4]+c[8]

现在我们对比前面的看一下

首先我们发现，对区间[a,b]进行维护的话我们对下标>b的c中的元素是没有动的所以求和时下标在b之后的元素是完全不受影响的

                         求和的时候如果我要求的元素在a之前那么我加到最后加的和减的是可以相互抵消的

                          如果下标在a，b之间的话，此求和时是不受下标在a前面的c中的元素影响的但要加上且仅加上一个下标在【a，b】之间的元素。

这样就完成了计算

对于lowbit函数，这里结合了位运算和二进制的知识，非常巧妙

如果想深究的话看连接http://blog.youkuaiyun.com/int64ago/article/details/7429868

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