区间平均值（逆序对）

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逆序对

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本文介绍了一种计算给定数值区间内随机选取的子区间平均值落在特定范围内的概率的方法。通过转换问题视角，利用离线数据结构和归并排序等算法技巧，实现了高效求解。适用于竞赛编程和算法挑战。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

区间平均值

问题描述：
有N个数，随机选择一段区间，如果这段区间的所有数的平均值在[l, r]中则你比较厉害。求你比较厉害的概率。
输入格式：
第一行有三个数N, l, r，含义如上描述。
接下来一行有N个数代表每一个数的值。
输出格式：
输出一行一个分数a/b代表答案，其中a, b互质。如果答案为整数则直接输出该整数即可。
样例输入 1：
4 2 3
3 1 2 4
样例输出 1：
7/10
样例输入 2：
4 1 4
3 1 2 4
样例输出 2：
1
样例解释：
塔外面有棵树。
数据规模与约定：
对于30%的数据， 1 ≤ N ≤ 104。
对于60%的数据， 1 ≤ N ≤ 105。
对于100%的数据， 1 ≤ N ≤ 5 × 105, 0 < l ≤ r ≤ 100。

思路：
要求区间平均值>=l&&<=r 的个数
即
现在我们来求区间平均值在1~r的个数和1~l(不包括l)的个数前减后即为所求
以求1~r为例
(a[i]+a[i+1]+……+a[i+k-1])/k<=r
(a[i]+a[i+1]+……+a[i+k-1])<=k*r
(a[i]+a[i+1]+……+a[i+k-1])-k*r<=0
(a[i]-r)+(a[i+1]-r)+……+(a[i+k-1]-r)<=0
令c[i]=a[i]-r得到一个新数组c
即求c数组区间和<=0的个数
令s为数组c的前缀和数组
c[i]+c[i+1]+…+c[i+k-1]<=0
s[i+k-1]-s[i]<=0
s[i+k-1]<=s[i]
则
i< i+k-1
s[i]>=s[i+k-1]
即求s数组逆序对数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lon long long
using namespace std;
const int maxn=500010;
lon n,l,r,ans1,ans2,a[maxn],b1[maxn],b2[maxn],c[maxn];
lon s1[maxn],s2[maxn];
lon lowbit(lon x)
{
    return x&(-x);
}
void add(lon x)
{
    for(lon i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    c[i]++;
}
lon getsum(lon x)
{
    lon ans=0;
    for(lon i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    ans+=c[i];
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("jian.in","r",stdin);
    freopen("jian.out","w",stdout);
    cin>>n>>l>>r;
    for(lon i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(lon i=1;i<=n;i++)
    {
        s1[i]=s1[i-1]+a[i]-l;
        b1[i]=s1[i];
        if(s1[i]<0) ans1++;
    }
    for(lon i=1;i<=n;i++)
    {
        s2[i]=s2[i-1]+a[i]-r;
        b2[i]=s2[i];
        if(s2[i]<=0) ans2++;
    }
    sort(s1+1,s1+n+1);
    sort(s2+1,s2+n+1);
    lon t1=unique(s1+1,s1+n+1)-s1-1;
    lon t2=unique(s2+1,s2+n+1)-s2-1;
    for(lon i=1;i<=n;i++)
    {
        lon pos=lower_bound(s1+1,s1+t1+1,b1[i])-s1;
        b1[i]=pos;
        pos=lower_bound(s2+1,s2+t2+1,b2[i])-s2;
        b2[i]=pos;
    }
    for(lon i=n;i>=1;i--)
    {
        ans1+=getsum(b1[i]);
        add(b1[i]+1);
    }
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(lon i=n;i>=1;i--)
    {
        ans2+=getsum(b2[i]);
        add(b2[i]);
    }
    lon up=ans2-ans1;
    lon down=n*(n+1)/2;
    if(up%down==0)
    cout<<up/down;
    else cout<<up/__gcd(up,down)<<"/"<<down/__gcd(up,down);
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}