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最新推荐文章于 2025-12-28 10:30:56 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-28 10:30:56 发布 · 161 阅读

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本文探讨了一道关于红酒和白酒排列的问题，通过将问题转化为小球放入盒子的经典数学模型，利用容斥原理解决。详细解析了算法思路，并提供了C++实现代码。

大概在很久之后，做了一道差不多的题，才回来把这道题给补了。

题意是给你n瓶红酒，m瓶白酒，然后把白酒和红酒分成很多堆，红白相间排成一行，然后每堆红酒不超过d瓶，问有多少种方案。

题目给的解释特别有迷惑性，其实我们把一堆平着放，就是求所有的酒排列方案（相邻的红酒不能超过d瓶）。

然后考虑先放白酒，那么白酒与白酒之间有m+1个空位，只要把红酒插进去就行。

就是把n个小球放到m个不同的盒子中，每个盒子不超过d个。

一个很经典的容斥，考虑有至少零个盒子超限，一个盒子超限，两个盒子超限。。。。

求至少有x个盒子超限也很简单，先计算有多少种选x个盒子的方案，然后先把x*(d+1)个小球放进去，剩下的就是普通的球盒模型。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 2000025
#define M 1010
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define go(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ld long double
#define pii pair<int,int>
#define vi vector<int>
#define madd(a,b) (a+=(b)%mod)%=mod
#define lowb(c,len,x) lower_bound(c+1,c+len+1,x)-c
#define uppb(c,len,x) upper_bound(c+1,c+len+1,x)-c
#define ls i*2+1
#define rs i*2+2
#define mid (l+r)/2
#define lson l,mid,ls
#define rson mid+1,r,rs
#define root 1,n,0
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define muti int T,cas=1;cin>>T;while(T--)
#define lll __int128
#define si short int
#define fi first
#define se second
#define l(x) (x&-x)
#define b(x) (1<<(x))
#define G(x) for( int i=h[x];i;i=eg[i].y )
ll n,m,k,jx[N],inv[N];
int m1=29,m2=34483;
void init(ll p){
    jx[0]=1;go(i,1,N-1)jx[i]=1ll*jx[i-1]*i%p;
    inv[0]=inv[1]=1;go(i,2,N-1)inv[i]=1ll*inv[p%i]*(p-p/i)%p;
    go(i,2,N-1)inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%p;
}
ll c(ll a,ll b){
    return jx[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
ll solve(ll n,ll m,ll k){
    ll res=0;
    for(int i=0;i*k<=n&&i<=m;i++){
        ll tmp=c(m,i)*c(m+n-k*i-1,n-k*i)%mod;
        if(i&1)madd(res,-tmp+mod);
        else madd(res,tmp+mod);
    }
    return res;
}
int main()
{
    init(mod);
    cin>>n>>m>>k;
    cout<<solve(n,m+1,k+1)<<endl;
}