NOWCODER 中位因数（筛法）

最新推荐文章于 2021-07-11 19:48:47 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-11 19:48:47 发布 · 253 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

Algorithm、数据结构专栏收录该内容

65 篇文章

订阅专栏

本文解析了牛客网上一道涉及数学和算法的题目，通过筛选法求解给定数值范围内所有数的因数中位数，进而计算g(x)的值。详细介绍了筛选法的巧妙之处，并附上AC代码实现。

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/6015/F
来源：牛客网

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

给出函数的定义如下：
f(x)是所有能够整除 x 的数（包含 1 和 x ）中的中位数向下取整的大小,
g(x)= $\sum_{i=1}^{x}f(i)$

输入描述:

输入包含多组数据，第一行为一个数字 $T (1 \leq T \leq 10)$ ，表示测试数据组数。
接下来是 T 组数据，每组数据为一行，包含一个整数 $x (1 \leq x \leq 1000000)$

输出描述:

每组数据输出包含一个整数，表示 g(x) 的值，结果要求对 1e9+7 取模。

示例1
输入

输出

1
2
4

说明

能够整除 1 的数字有 1 ，故 f(1)=1；
能够整除 2 的数字有 1，2 所以中位数为 $[\frac{1+2}{2} ] = 1$ 故 $f (2) = 1$ ；
能够整除 3 的数字有 1，3 所以中位数为 $[\frac{1+3}{2}]=2$ 故 $f (3) = 2$ ；
从而得出 $g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 4$ 。

示例2
输入

1
1000000

输出

677045223

思路：

主要是求因数的中位数，这个筛法很巧妙，大佬给我讲的时候我一脸懵逼。。。哎，做好笔记好好学习吧

AC代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6,mod=1e9+7;
ll f[1000010],g[1000010],t,n;
int main() {
	for(int i=1; i<=sqrt(maxn); i++) {
		for(int j=i; j<=maxn; j+=i) {
			if(f[j]*f[j] <j) f[j]=i; //这里求j的所有因数的中位数
		}
	}
	for(int i=1; i<=maxn; i++) {
		f[i]=(f[i]+i/f[i])/2; //偶数个因数的时候中位数是中间两个中位数之和除以2
		g[i]=(g[i-1]+f[i])%mod;
	}
	cin>>t;
	while(t--) {
		cin>>n;
		cout<<g[n]<<endl;
	}
}