树状数组单点更新和区间更新，二维数组poj2155（区间更新，单点查询）（已加入区间修改区间查询）

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树状数组

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本文介绍了树状数组的几种高级应用，包括单点增减区间求和、区间增减单点查询、区间增减区间查询等，并通过示例代码详细解释了如何实现这些功能。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

普通的树状数组C[i]=a[i]+a[i-1]+...a[i-2^k+1]+...+a[1];

但是所有树状数组都是向上更新，向下求和。

1）、单点增减+区间求和

思路：C[x]表示该点的元素:sum(x)=C[1]+C[2]+……C[x]

[cpp]view plaincopy 
   
print?
 int arr[MAXN];  
 inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}  
 inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}  
 inline int query(int x,int y){return sum(y)-sum(x-1);}  

（2）、区间增减+单点查询
思路：C[x]表示该点元素与左边元素的差值:num[x]=C[1]+C[2]+……C[x]

[cpp]view plaincopy 
   
print?
 int arr[MAXN]  
 inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}  
 inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}  
 inline int update(int x,int y,int n){add(x,n);add(y+1,-n);}  

（3）、区间增减+区间查询
思路：C1[x]表示该点元素与左边的差值，C2[x]表示的是x*C[x]

[cpp]view plaincopy 
   
print?
 sum(sum(C[j],j<=i)i<=x)  
 = x*C[1]+(x-1)*C[2]+……+C[x]  
 =(x+1)*sum(C[i],i<=x)-sum(i*C[i],i<=x);  
树状数组的基本知识不再介绍，请自行百度
我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)
设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v
【今天的主要内容】
我们可以实现NlogN时间的“单点修改，区间查询”，“区间修改，单点查询”，其实后者就是前者的一个变形，要明白树状数组的本质就是“单点修改，区间查询”
怎么实现“区间修改，区间查询”呢？
观察式子：
 a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c2[i]
每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变
那么
式子①
=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询
一件很好的事情就是树状数组的常数比NlogN的数据结构小得多，实际上它的计算次数比NlogN要小很多，再加上它代码短，一定会成为OI中的利器
【题目】
CodeVS 1082 线段树练习3（可以点击）
解析：这就是个裸题
【代码】
[cpp]view plaincopy 
      
print?
 //树状数组(升级版)  
 #include <cstdio>  
 #define lowbit(x) (x&-x)  
 #define ll long long  
 #define maxn 200010  
 using namespace std;  
 ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];  
 void add(ll *r, ll pos, ll v)  
 {for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}  
 ll sigma(ll *r, ll pos)  
 {  
     ll ans;  
     for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];  
     return ans;  
 }  
 int main()  
 {  
     ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;  
     scanf("%lld",&n);  
     for(i=1;i<=n;i++)  
     {  
         scanf("%lld",num+i);  
         add(c1,i,num[i]-num[i-1]);  
         add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));  
     }  
     scanf("%lld",&q);  
     while(q--)  
     {  
         scanf("%lld",&type);  
         if(type==1)  
         {  
             scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);  
             add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);  
             add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);  
         }  
         if(type==2)  
         {  
             scanf("%lld%lld",&a,&b);  
             sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);  
             sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);  
             printf("%lld\n",sum2-sum1);  
         }  
     }  
     return 0;  
 }  

 
  
 

  
 
 

  
 
 

  二维树状数组
 

  //变换为0->1,1->0
 

  #include <stdio.h>
  
 #include <string.h>
  
 #include <iostream>
  
 #include <algorithm>
  
 #include <vector>
  
 #include <queue>
  
 #include <set>
  
 #include <map>
  
 #include <string>
  
 #include <math.h>
  
 #include <stdlib.h>
  
 #include <time.h>
  
 using namespace std;
  
 const int MAXN = 1010;
  
 int lowbit(int x)
  
 {
  
     return x&(-x);
  
 }
  
 int c[MAXN][MAXN];
  
 int n;
  
 int sum(int x,int y)
  
 {
  
     int ret = 0;
  
     for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
  
         for(int j = y;j > 0;j -= lowbit(j))
  
             ret += c[i][j];
  
     return ret;
  
 }
  
 void add(int x,int y,int val)
  
 {
  
     for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i))
  
         for(int j = y;j <= n;j += lowbit(j))
  
             c[i][j] += val;
  
 }
  
 
  
 
  
 int main()
  
 {
  
     int T;
  
     scanf("%d",&T);
  
     while(T--)
  
     {
  
         int q;
  
         scanf("%d%d",&n,&q);
  
         memset(c,0,sizeof(c));
  
         char op[10];
  
         int x1,y1,x2,y2;
  
         while(q--)
  
         {
  
             scanf("%s",op);
  
             if(op[0] == 'C')
  
             {
  
                 scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
 

  //不要忘了是向上修改，所以x,y之前的区域修改是影响不到的。即只影响x,y为左上顶点的矩形区域
  
                 add(x1,y1,1);
  
                 add(x2+1,y1,1);
  
                 add(x1,y2+1,1);
  
                 add(x2+1,y2+1,1);//在(x1,y1)到(x2,y2)范围内加1，由于初始值为0，查询时只要那点结果是奇数则相当于奇数次变换，即结果位1
  
             }
  
             else
  
             {
  
                 scanf("%d%d",&x1,&y1);
  
                 if(sum(x1,y1)%2 == 0)printf("0\n");//在此题操作为区间修改吗，单点查询
  
                 else printf("1\n");
  
             }
  
         }
  
         if(T > 0)printf("\n");
  
     }
  
     return 0;
  
 }
  
 
 

/*
 * Author:  ktmzgl
 * Created Time:  2016/9/27 15:16:41
 * File Name: F:\Vim\code\Martix_BIT_poj2155.cpp
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <time.h>
using namespace std;
const int maxint = -1u>>1;
const int N=1010;
int Scan()
{    //输入外挂  仅适用于纯数字，即不含符号的数字
    int res = 0, flag = 0;  
    char ch;  
    if((ch = getchar()) == '-') 
        flag = 1;  
    else if(ch >= '0' && ch <= '9') 
        res = ch - '0';  
    while((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9')  
        res = res * 10 + (ch - '0');  
    return flag ? -res : res;  
}  

void Out(int a) 
{    //输出外挂  
    if(a < 0) 
    {
        putchar('-');
        a = -a;
    }  
    if(a >= 10)
       Out(a / 10);  
    putchar(a % 10 + '0');  
}  
struct BIT
{
    int a[N][N];
    void init()
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
    void add(int x,int y,int t)
    {
        int i,j;
        for(i=x;i<N;i+=i&-i)
        {
            for(j=y;j<N;j+=j&-j) a[i][j]+=t;
        }
    }
     
    int get(int x,int y)
    {
        int ans=0;
        int i,j;
        for(i=x;i;i-=i&-i)
        {
            for(j=y;j;j-=j&-j) ans+=a[i][j];
        }
        return ans;
    }
};
 
BIT a,b,c,d;
 
 
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int t)
{
    a.add(x1,y1,t); a.add(x2+1,y1,-t);
    a.add(x1,y2+1,-t); a.add(x2+1,y2+1,t);
     
    b.add(x1,y1,t*x1); b.add(x2+1,y1,-t*(x2+1));
    b.add(x1,y2+1,-t*x1); b.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1));
     
    c.add(x1,y1,t*y1); c.add(x2+1,y1,-t*y1);
    c.add(x1,y2+1,-t*(y2+1)); c.add(x2+1,y2+1,t*(y2+1));
     
    d.add(x1,y1,t*x1*y1); d.add(x2+1,y1,-t*(x2+1)*y1);
    d.add(x1,y2+1,-t*x1*(y2+1)); d.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1)*(y2+1));
}
 //区间修改区间求和的时候树状数组存的是差量 
int get(int x,int y)//求1,1到x,y的和
{
    return (x+1)*(y+1)*a.get(x,y)-(y+1)*b.get(x,y)-(x+1)*c.get(x,y)+d.get(x,y);
}
 
int get(int x1,int y1,int x2,int y2)//求x1,y1到x2,y2的和
{
    return get(x2,y2)-get(x2,y1-1)-get(x1-1,y2)+get(x1-1,y1-1);
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	int cnt=0;
	while(t--)
	{
		if(cnt!=0)
		cout<<endl;
		cnt++;
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		a.init(),b.init(),c.init(),d.init();
		char op[10];
		int x1,y1,x2,y2;
		for(int i=0;i<m;i++)
		{
			scanf("%s",op);
			if(op[0]=='C')
			{
				//scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
				x1=Scan(),y1=Scan(),x2=Scan(),y2=Scan();
				add(x1,y1,x2,y2,1);
			}
			else
			{
				//scanf("%d%d",&x1,&y1);
				x1=Scan(),y1=Scan();
				cout<<get(x1,y1,x1,y1)%2<<endl;
			}
		}
		
	}
    return 0;
}