矩阵的奇异值

最新推荐文章于 2024-06-28 15:10:06 发布

Aurelia.C

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矩阵的奇异值分解提供了一种将矩阵转换为正交矩阵和广义对角阵的形式，从而在几何上解释为线性变换如何将单位球面映射到椭球面。奇异值在二维情况下表示矩阵作用于单位圆产生的椭圆的长轴和短轴。在MATLAB中，奇异值分解常用于将线性方程组的系数矩阵转化为下三角形，以便求解线性方程组。

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几何意义：

对任意m×n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U，V和一个广义对角阵（其中的对角元素就是奇异值），有了这样一个简单的描述后，对任意向量x， 对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了。这样的话，对于v阵的任一个元素Vi，经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi，这样就有了大家都知道的几何意义：当A是方阵时，其奇异值的几何意义是：若X是n维单位球面上的一点，则Ax是一个n维椭球面上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。简单地说，在二维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。