【每日一题见微知著】位标记法——好子集的数目-优快云博客

该博客讨论了一道关于寻找数组中好子集（子集中所有元素乘积为不同质数的乘积）的问题。博主介绍了如何使用位标记和动态规划（DP）方法解决这个问题，其中涉及到对30以内质数的标记，以及如何检查子集中的质数不重合。通过遍历数组并更新有效组合，博主得出最终答案。文章适合对算法和质数分解有兴趣的读者。

$\textcolor{Red}{1994. 好子集的数目}$

给你一个整数数组 nums 。如果 nums 的一个子集中，所有元素的乘积可以表示为一个或多个 互不相同的质数 的乘积，那么我们称它为 好子集 。

比方说，如果
```
nums = [1, 2, 3, 4]
```
：
- [2, 3] ，[1, 2, 3] 和 [1, 3] 是好子集，乘积分别为 6 = 2*3 ，6 = 2*3 和 3 = 3 。
- [1, 4] 和 [4] 不是好子集，因为乘积分别为 4 = 2*2 和 4 = 2*2 。

请你返回 nums 中不同的好子集的数目对 109 + 7 取余的结果。

nums 中的子集是通过删除 nums 中一些（可能一个都不删除，也可能全部都删除）元素后剩余元素组成的数组。如果两个子集删除的下标不同，那么它们被视为不同的子集

根据数据限制条件——nums[i]在【1，30】，主要小于32，说明可以使用32位标记

30以内的每个质数使用一个独立的位来唯一标记，比如——2（…01）、3（…010）…对于2*3=6利用如下表示（…011）表示使用2和3两个质数相乘得到。
特别的对于1，由于1不属于质数，且1与其他相乘不改变状态，于是将其表示为（…00）全零
对于题目要求的好子集，说明子集中每个位标记不重合，重合说明出现分解为两个相同质数的情况

然后基本解题思路在利用DP思想：对于i之前的所有有效组合（即之前所有可能的好子集的乘积的统计），利用i的位标记，查找不冲突的乘积组合，然后累加添加i的组合，同时保留原组合（也可以不添加i）

class Solution {
    public int numberOfGoodSubsets(int[] nums) {
        //mask保存1~30位标记，1-0，2-01，3-010，4-（-1）由于4包含重复质数...
        int[] mask=new int[31];
        int MOD=1000000007;
        int cur=0;
        for(int i=2;i<=30;i++){
            for(int k=2;k<i;k++){
                if(i%k==0){
                    //如果被可分解为不同质数的数分解，且分解后的数包含的质数不重合
                	//比如30=2*15(15=3*5与2不重合)-》30=2*3*5（...000111）
                    if(mask[i/k]!=-1&&mask[k]!=-1&&(mask[i/k]&mask[k])==0){
                        mask[i]=mask[i/k]|mask[k];
                    }
                    else{
                        mask[i]=-1;
                    }
                    break;
                }
            }
            //如果为一个质数，赋予一个更高位位标记
            //2-..01,3-..010,5-..0100,7-...
            if(mask[i]==0){
                mask[i]=1<<cur;
                cur++;
            }
        }
        Arrays.sort(nums);
        Map<Integer,Integer> ans=new HashMap<>();
        ans.put(0,1);
        for(int i:nums){
            if(mask[i]!=-1){
                Set<Integer> k=ans.keySet();
                List<Integer> keys=new ArrayList<>();
                keys.addAll(k);
                for(int key:keys){
                    if((key&mask[i])==0){
                        int mid=key|mask[i];
                        ans.put(mid,(ans.get(key)+ans.getOrDefault(mid,0))%MOD);
                    }
                }
            }
        }
        int res=0;
        for(Map.Entry<Integer,Integer> e:ans.entrySet()){
            if(e.getKey()!=0)
                res=(res+e.getValue())%MOD;
        }
        return res;
    }
}