4_红黑树

• 参考资料

  什么是红黑树？面试必问！

  《数据结构：思想与实现》，翁惠玉，俞勇

• 定义

  (0) 首先是一棵__二叉查找树__

  (1) 每个结点要么是红色，要么是黑色

  (2) 根结点一定是黑色

  (3) NULL结点是黑色

  (4) 每个红色结点的两个子节点必然是黑色

  推论：任意路径上不能出现连续的两个红色结点

  (5) 从__任意__一个结点到NULL结点的所有路径都包含相同数量的黑色结点

  推论1：如果只看黑色结点，这棵树是完全平衡的（这也说明了整体来看，并不是完全平衡的）

  推论2：如果一个黑色结点存在子结点，那么它一定有两个子结点

  根据(4)、(5)

  推论：最长路径最多是最短路径的2倍（最长路径是黑红……黑红的那条，最短路径是黑……黑的那条）

  示例

  
  最大特性：自平衡

• 红黑树的3种内部基本操作

  (1) 左旋（逆旋）
  
  相当于一只手把结点V（当前结点的右结点）拽住，让V到P现在的位置，然后由于V的左子结点变成了P，所以原来的左子结点R就变成了P的右子结点

  (2) 右旋（顺旋）

  
  (3) 变色

  红色结点变成黑色结点，黑色结点变成红色结点

  左旋只影响旋转结点和其右子树的结构，把右子树的结点往左子树挪了；

  右旋只影响旋转结点和其左子树的结构，把左子树的结点往右子树挪了。

  红黑树总是通过旋转和变色达到自平衡

• 红黑树的__查找__操作

  (1) 和普通的二叉搜索树一样，最坏时间复杂度是O(2logN) = O(logN)，之所以有2是因为最坏的情况是恰好一条红黑相间，一条全是红

• 红黑树的__插入__操作

  (1) 插入操作分为两个部分：找到待插入的位置 + 调整使得平衡

  (2) 找到待插入的位置的操作

  和查找操作基本相同，只不过如果查到了key相同的结点，那么就直接更新这个结点的非key值部分就行了；如果一直查不到key相同的结点的话，说明这个结点是要被插入的，那么__它的初始待插入位置一定是叶结点__(例如我想在图8-24中插入10，那么经过一顿操作，首先找到的待插入位置是12的左子结点)

  那这个新结点要涂成什么颜色呢？当然是__红色__，因为定义(5)，所以先插个红色结点再说，然后再调整

  (3) 调整使得平衡的操作

  不写了太复杂，但是大概就是__分情况讨论__ + 各种情况下运用左旋、右旋、变色三个基本操作

• 红黑树的__删除__操作

  (1) 删除操作分为两个部分：找到要删除的位置 + 调整

  (2) 找到待删除的位置的操作

  和查找相同。 如果要是没找到的话那就太好了，啥也不用干

  (3) 待删除的结点一共有__3种__情景

  二叉树删除结点找替代结点有3种情情景：

  情景1：若删除结点无子结点，直接删除

  情景2：若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点

  情景3：若删除结点有两个子结点，用后继结点（大于删除结点的最小结点）替换删除结点

  (4) 针对情景3，什么叫“大于删除结点的最小结点”呢？

  把二叉树所有结点投射在X轴上，所有结点都是从左到右排好序的，所有目标结点的前后结点就是对应前继和后继结点

  

  也就是说，把二叉搜索树拍扁，那么它们从左到右会依次增大

  (5) 根据(4)，情景3这种最麻烦的情况可以变得稍微简单一些，删除一个中间结点也可以变成删除一个叶结点

  
  所以，情景2、3总是可以通过一系列操作转换为情景1。

  也就是说，删除操作删除的结点可以看作删除替代结点，而替代结点经过一系列操作最后总是叶结点

  (6) 接下来就是研究删除最后的叶结点的各种情况，然鹅还是很复杂要分多种情况讨论，还是通过左旋+右旋+变色操作，让红黑树自平衡，太复杂不说了