素数判断与优化-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/captainjackNO1/article/details/45287257

临睡前翻看了下《编程珠玑（续）》这本书，看到第一章就被吸引了，性能监视工具这节从计算素数入手。题目是：
打印所有小于1000的素数
简单直白的方法就是，针对每个小于1000的数字n，从2开始到n-1，如果能被任意一个数整除，那它就不是素数。代码如下：

    int prime(int n)
    {
        int i;
        for(i = 2; i < n; i++)
        {
            if(n % i == 0)
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    int main()
    {
        int i, n ;
        n = 1000;
        for(i = 2; n <= n; i++)
        {
            if（prime(i))
                printf("%d\n", i);
        }
    }

这里存在可优化的地方，优化的地方就是根本不需要计算到n-1这个大小。因为根据数论的理论，只要求得至多不大于 $\sqrt{N}$ 的整型数即可得出这个数是否为素数：
如下为理论证明：
第一，对于一个自然数N，只要能被一个非1非自身的数整除，它就肯定不是素数，所以不
必再用其他的数去除。
第二，对于N来说，只需用小于N的素数去除就可以了。例如，如果N能被15整除，实际
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也决不会被15整除。
第三，对于N来说，不必用从2到N一1的所有素数去除，只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以了。这一点可以用反证法来证明：
如果N是合数，则一定存在大于1小于N的整数d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大于√N，则有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而这是不可能的，所以，d1和d2中必有一个小于或等于√N。
因此可以只求得 $\sqrt{N}$ 之内的数即可判断该数是不是素数：

    int root(int n)
    { return (int) sqrt((float) n);}
    int prime(int n)
    {
        int i, bound;
        bound = root(n);
        for(i = 2; i <= bound; i++)
        {
            if(n % i == 0)
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    int main()
    {
        int i, n ;
        n = 1000;
        for(i = 2; n <= n; i++)
        {
            if（prime(i))
                printf("%d\n", i);
        }
    }

可是这个方法还不是特别好，因为求平方根的操作比较耗费时间，因此如果能把这个时间省略就更好了，因此想到了如下办法：

    int root(int n)
    { return (int) sqrt((float) n);}
    int prime(int n)
    {
        int i, bound;
        bound = root(n);
        for(i = 2; i * i <= n; i++)
        {
            if(n % i == 0)
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    int main()
    {
        int i, n ;
        n = 1000;
        for(i = 2; n <= n; i++)
        {
            if（prime(i))
                printf("%d\n", i);
        }
    }

是不是很惊喜啊，这样运算速度又快了一步，不过还不是最优的，试想将一个数先判断是否能被2，3，5整除，那么这个数肯定不是素数，这样一下子剔除了好多数，然后只考虑奇数的因子，这样时间上又优化了很多


    int prime(int n)
    {
        int i；
        if（n % 2 == 0)
            return (n==2); //一定要排除2本身这个素数,下同
        if(n % 3 == 0)
            return (n == 3);
        if (n % 5 == 0 )
            return (n == 5);
        for(i = 7; i * i<= n; i += 2)
        {
            if(n % i == 0)
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    int main()
    {
        int i, n ;
        n = 1000;
        for(i = 2; n <= n; i++)
        {
            if（prime(i))
                printf("%d\n", i);
        }
    }

这样又优化了很多啊，这本书讲的真实厉害！后面还有的优化就是厄拉多塞筛法
简单介绍一下厄拉多塞筛法。厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。
可以用一个数组保存每个元素，数组下标对应元素，此时对这个数组进行标记，如果为某个数的倍数，就将其标记为0，之后,没有被标记的元素就是素数。


    int num[N]; 
    for (int i = 0; i < N; i++)  
        {  
            num[i] = i;  
        }  

       for (int j = 2; j < N; j++)  
       {  
           if(0 != num[j])  
           {  
               for (int k = 2; k*j < N; k++)  
               {  
                   num[k*j] = 0;  
               }  
           }  
       }  

       for (int n = 0; n < N; n++)  
       {  
           if(0 != num[n])  
           {  
               cout<<" "<<num[n];  
           }  
       }