对补码的理解与公式推导

1. 基础知识

首先，我们知道在计算机内部，不能保存一个很长的数字（比如说1e6长度的一个数字，除非用数组存储），对于int来说，4个字节，字长32，所以我们知道int可以表示的整数的个数为2^32.不妨设int所能表示的最大整数为INT_MAX,则INT_MAX+1无法用int表示，结果是一个最小的负数

2. 引入补码的意义

引入补码的意义在于简化计算，我们知道

同理，设x>0,y<0,我们在int的模系统下有x+y=x+(INT_MAX-abs(y)) mod(INT_MAX)，这也是补码公式的由来，对于任何一个数y<0，都有x-abs(y)=x+y=x+(INT_MAX-abs(y)) mod(INT_MAX),这样我们就把一个减法运算转换成了加法运算，并且用一个正数INT_MAX-abs(y)>0去代替负数y<0，最后就把代数式转换为了两个正数的加法。

3. 为什么引入补码等效于（负数）各位变反，末尾+1

在y>0且y十进制值变大的的情况下，其二进制的0 1序列也会相应增加，并且我们知道最高位一定是0

对于任何y<0，都有INT_MAX+y>0，那么我们不妨建立函数f(y)=(y+INT_MAX)mod INT_MAX上，可以知道这是一个双射函数。

对于任何y1<0，其函数值f(y1)均大于任何f(y2),其中y2>0，因此，f(y1)的最高位一定是1