Unity四元数和向量相乘作用及其运算规则

本文详细解析了四元数在Unity中如何表示向量的旋转,通过具体实例展示了绕Y轴旋转90度的向量变化过程,并深入探讨了四元数乘法和逆运算的数学原理。

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作用:四元数和向量相乘表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。

比如:向量vector3(0,0,10),绕着Y轴旋转90度,得到新的向量是vector3(10,0,0)。

在unity中表示为:

运行结果为:

复合旋转就是四元数依次相乘,最后乘以向量

多来几例:

想了解其中的运算过程的可以往下看。

将四元数的四个值分别计为:(w,x,y,z),unity中的四元数中的四个数字是(x,y,z,w),不影响下面的计算过程。

绕任意轴旋转任意角度的四元数为:

Y轴向量为(0,1,0)

那么绕着Y轴旋转90度的四元数就是q = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0)

unity中这个Quaternion.Euler(0,90,0)打debug的话是(0,√2/2 , 0 , √2/2 ),因为排列顺序是(x,y,z,w),不影响下面的计算过程

四元数乘以向量的运算规则为:q * v = (q) *( v) *( q−1);

其中:

q = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0);

v,将v向量扩充为四元数(0,v),也就是v = (0 , 0,0 , 10);

q−1是四元数q的逆,求逆过程如下:

  • 共轭四元数:q*=(w,-x,-y,-z),也就是(√2/2 , 0 , -√2/2 , 0)
  • 四元数的模:N(q) = √(x^2 + y^2 + z^2 +w^2),即四元数到原点的距离,计算结果为1
  • 四元数的逆:q−1=q*/N(q),也就是q−1 = (√2/2 , 0 , -√2/2 , 0)

q * v = q * v * q−1 = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0) * (0 , 0,0 , 10)*(√2/2 , 0 , -√2/2 , 0);

四元数乘法公式:

按照上述计算公式: q * v = q * v * q−1

 (√2/2 , 0 , √2/2 , 0) * (0 , 0,0 , 10) = (0,5√2,0,5√2)

(0,5√2,0,5√2) * (√2/2 , 0 , -√2/2 , 0)=(0,10,0,0);

将最后得到的四元数(0,10,0,0)变为向量(0,newV),就是newV(10,0,0)。

<think>好的,我现在要回答用户在Unity Shader Graph中向量相乘的几何意义的问题。首先,我需要回忆一下Unity Shader Graph中的向量乘法类型,因为向量相乘通常有两种:点乘(Dot Product)叉乘(Cross Product)。用户提到的是“相乘”,可能需要区分这两种运算的不同几何意义。 首先,点乘的结果是一个标量,几何上表示两个向量之间的夹角余弦值乘以它们的模长的乘积。在Shader中常用于计算光照强度、投影等。例如,法线向量光线方向的点乘可以确定漫反射强度。这时候可能需要引用一些图形学的基础知识,比如兰伯特光照模型。 然后,叉乘的结果是一个向量,其方向垂直于原来的两个向量,遵循右手法则,长度等于两个向量的模长乘以夹角的正弦值。在Shader中,叉乘常用于计算法线向量、确定旋转轴等。比如,计算切线空间中的副切线向量时可能会用到叉乘。 另外,用户可能还指的是分量相乘(Component-wise Multiplication),即两个向量对应分量相乘,结果仍为向量。这在颜色混合或纹理处理中常见,比如调整颜色通道的强度。这种情况下,几何意义可能更多是逐分量缩放,而不是整体的几何变换。 接下来,我需要确保回答覆盖这三种情况,并分别解释它们的几何意义应用场景。同时,需要结合Unity Shader Graph的具体节点,比如Dot Product节点Cross Product节点,以及Multiply节点的不同行为。例如,使用Multiply节点对两个向量进行分量相乘时,可能用于调制颜色或纹理坐标。 还要注意用户可能存在的混淆点,比如为何点乘叉乘有不同的结果类型用途。需要明确区分它们的不同,并举例说明在Shader中的实际应用,如使用点乘判断视线方向与表面法线的夹角,实现边缘光效果等。 最后,生成相关问题时要围绕向量运算的其他方面,比如实际应用案例、数学原理、优化方法等。确保问题能够帮助用户进一步理解应用这些概念。</think>在Unity Shader Graph中,向量相乘的几何意义根据运算类型不同而有所区别。以下是两种主要向量乘法及其几何解释: ### 1. **点乘(Dot Product)** 数学表达式:$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta $$ **几何意义**: - 表示两向量的方向相似性:结果为正值时方向相近,负值时相反,零时正交。 - 在Shader中常用于: - 计算光照强度(如漫反射的兰伯特模型)[^1] - 投影操作(如将向量投影到法线方向) 示例代码(Shader Graph节点): ```hlsl // 计算法线向量与光照方向的点乘 float NdotL = dot(normal, lightDir); ``` ### 2. **叉乘(Cross Product)** 数学表达式:$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin\theta \cdot \mathbf{n} $$ **几何意义**: - 生成垂直于原两向量的新向量,方向由右手法则确定。 - 在Shader中常用于: - 构建切线空间(如TBN矩阵) - 计算多边形法线方向 示例应用: ```hlsl // 通过切线向量法线向量计算副切线向量 float3 bitangent = cross(normal, tangent); ``` ### 3. **分量相乘(Component-wise Multiply)** 数学表达式:$$ \mathbf{A} \circ \mathbf{B} = (A_x \cdot B_x, A_y \cdot B_y, A_z \cdot B_z) $$ **几何意义**: - 对向量进行逐分量缩放,常用于颜色混合或坐标变换。 - 例如:将颜色与光照强度结合时,使用分量相乘调整各通道值。 --- ###
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