8.15 最大公共子图

题目描述：

证明如下问题是 NP-完全的：

输入：两个图 G1=(V1,E1)和 G2=(V2,E2); 预算b。

输出：两个节点集合V1’是V1的子集，V2'是V2子集，它们被移除后，将在两图中分别留下至少b个节点，且图的剩余部分完全一样。

题目解答：

分析：

       我们需要找到一个NP-完全问题规约到该问题上，从而证明出该问题是NP-完全的。我们选择团问题规约到该问题中。 考虑这个问题，当我们在图G1中找到一个规模为b的团，便可以得到一个子图G2，其中该子图G2有b个顶点，且它是一个完全图。那么反过来说给出G1,G2，如果我们能求解它们的最大公共子图，如果该子图的顶点数为b,便能得到一个规模为b的团，从而将团问题的实例（G1,b）便能规约到在G1,G2(其中G2是规模为b的完全图)求解最大公共子图实例（G1,G2,b）的问题
证明：
       设团问题的某个实例（G1,b）,构造一个完全图G2，顶点数为b，因此能通过团问题实例（G1,b）映射到最大公共子图（G1,G2,b）上。

（1）如果最大公共子图有一个解，则由于该公共子图实例要求顶点数≥b,且G2的顶点数为b，故该公共子图的顶点数必为b  由于G2的顶点数为b，则该公共子图为G2，且由于G2为团，所以G1所得的公共子图是规模为b的团，故可求得团问题的实例（G1,b）是有解的。

（2）如果团问题的实例（G1，b）有解，则G1中存在一个规模为b的团G'，由于G2也是规模为b的团，则G'=G2，则可求得最大公共子图（G1,G2,b）的解。
  因此，团问题（G1,b）和最大公共子图（G1,G2,b）的解释一致的，题目得证。