Codility上的问题 12 Lambda 2011

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本文介绍了一种O(N)时间复杂度和O(N)空间复杂度的算法，用于查找给定树结构中使得所有节点到该节点距离之和的平均值最小的节点。算法通过深度优先搜索（DFS）遍历树结构，利用递归计算以每个节点为根的子树内所有节点到该节点的距离之和，并最终确定满足条件的最优节点。

给定一棵树，节点数N在[1..10^5]，树是一维数组给的 T[i] != i表示有一条T[i]到i的边，求定义一个距离是某节点到所有节点距离的和的平均，求这个平均距离最小的节点，如果有相同的输出标号较小的节点。

要求的时间复杂度 O(N),空间复杂度O(N)。

分析：首先，因为每个节点到其他（N-1)个节点都有路，所以平均距离的话分母是(N - 1)，所以我们只算总距离就好了。另外就是总距离可能非常大，比如一条链……所有节点到根的总距离会超int...

然后如何求这个总距离？显然dfs...

先求以一个节点为根节点的子树种的所有节点到它的距离之和。设s[i]表示以i为根的子树种的节点个数，d[i]表示以i为根的子树的所有节点到i的距离之和。

假设我们要求d[i]，考虑i的一个孩子j, d[j], s[j]已经求好了，那么有s[i] += s[j].距离的话 d[i] += d[j] + s[j]。这是因为i是j的父亲,j的所有后裔（包括j）到i的距离就是到j的距离+1。

但是我们目前求得的不是所要的结果。

我们现在更新d，让d变为所有节点到它的距离和。

首先对于根节点，d值不用更新。那么我们假设对于节点 j，假设它的父亲i，d[i]已经是所有节点到它的距离和了，那么d[j]怎么办？

我们从整个树中，把以j为根的子树去掉，剩下的节点到i的距离之和为d[i] - (d[j] + s[j]),注意这时d[i],d[j]的含义已经不一样了。那么这些节点到j的距离都要经过其父亲i，也就是都要+1，所以它们到j的距离之和是d[i] - (d[j] + s[j]) + ( n - s[j])，再加上以j自身的子树本身的距离和，所以所求的

d[j] = d[i] - (d[j] + s[j]) + (n - s[j]) + d[j] = d[i] - s[j] + n - s[j]

这样再dfs一次，所得到的d就是想要的了……

代码：

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>

#include <vector>

void dfs1(int at, const vector<vector<int> > &e, vector<long long> &d,vector<int> &s) {
int i;
    s[at] = 1;
    d[at] = 0;
    for (i = 0; i < e[at].size(); ++i) {
       dfs1(e[at][i], e, d, s);
       d[at] += d[e[at][i]] + s[e[at][i]];
       s[at] += s[e[at][i]];
    }
}

void dfs2(int at,const vector<vector<int> > &e, vector<long long> &d, vector<int> &s) {
int i;
    for (i = 0; i < e[at].size(); ++i) {
        d[e[at][i]] = d[at] - s[e[at][i]] + s.size() - s[e[at][i]];
        dfs2(e[at][i], e, d, s);
    }
}
       

int solution(const vector<int> &T) {
    // write your code here...
    int n = T.size(),i,r,root;
    vector<vector<int> > e;
    e.resize(n);
    vector<long long> d;
    d.resize(n);
    vector<int> s;
    s.resize(n);
    for (i = 0; i < n; ++i) {
        if (T[i] != i) {
            e[T[i]].push_back(i);
        }
        else {
            root = i;
        }
    }
    dfs1(root, e,d,s);
    dfs2(root, e,d,s);
    for (i = 1, r = 0; i < n; ++i) {
        if (d[r] > d[i]) {
            r = i;
        }
    }
    return r;
        
}