完全解析斐波那契数列

 

方法1：使用递归解，时间复杂度是n的指数级别

#include<iostream>

#include<stdlib.h>

using namespace std;

//f(n)={0,1,1,2,3...} n>=0

int Fibonacci(int n)

{

 if(n<=0)

 return 0;

 if(n==1)

 return 1;

 return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

}

void main()

{

 int f=Fibonacci(30);

 cout<<f<<endl;

 system("pause");

}

但是这样的方法存在明显的不足，该方法的时间复杂度是n的指数级别，随着n的增大，运算时间不可想象，比如说f(50)就要很久。时间复杂度之所以这么大，是因此计算过程中存在着重复计算。以f(10)为例，f(10)=f(9)+f(8)，f(9)=f(8)+f(7)。其中的f(8)就是重复计算的。

方法2：开辟一个长度为(n+1)的数组，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

前面我们计算斐波那契数列是从后往前计算的，就是计算f(n)=f(n-1)+f(n-2)，然后再递归计算f(n-1)，又是从后往前计算，就是因为这样的从后往前计算，所以才会有很多的重复计算。那么我们可以逆转思路，考虑从前往后计算。比如我们要计算f(4)，那么我们就计算f(0)、f(1)、f(2)、f(3)，将这些计算出来的值保存在一个数组arry[n+1]上，这样计算斐波那契数列就相当于是一个填表的过程。时间复杂度大大降低。

int Fibonacci(int n)

{

 if(n<=0)

 return 0;

 else if(n==1)

 return 1;

 else

 {

 //动态创建一个长度为(n+1)的数组

 int *arry=new int[n+1];

 arry[0]=0;

 arry[1]=1;

 for(int i=2;i<=n;i++)

 {

 arry[i]=arry[i-1]+arry[i-2];

 }

 int result=arry[n];

 //因为动态创建的数组不会因为出了作用域，内存就会被释放。

 //动态分配的数组将一直存在，直到程序显示释放它为止，因此这里使用delete []

 //c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。

 delete [] arry;

 return result;

 }

}

注意点：

因为不知道要求的f(n)中的n有多大，因此不能事先开辟一个数组，需要动态创建数组。而动态数组与数组变量不同，动态分配的数组将一直存在，直到程序显式释放它为止。普通的数组变量，只要出了数组的作用于，其内存会自动释放。c++提供delete []表达式释放指针所指向的数组空间。delete [] arry;该语句回收了arry所指向的数组，把相应的内存返回给自由存储区。在关键字delete和指针arry之间的方括号[]是必不可少的：它告诉编译器该指针指向的是自由存储区中的数组，而非单个对象。delete arry只释放了arry指针所指向的内存地址，理论上来说会少释放了内存空间，从而产生内存泄露。

方法3：优化方法2，空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)

在方法2中，我们保存了每一个中间变量，但是仔细观察我们可以发现没有必要保存每一个中间变量，我们只需要保存两个临时变量即可完成斐波那契数列的计算。

int Fibonacci(int n)

{

 if(n<=0)

 return 0;

 else if(n==1)

 return 1;

 else

 {

 //当n>=2时，初始化pre=f(0)=0,post=f(1)=1,f(n)=0;

 int pre=0;

 int post=1;

 int fn=0;

 //采用循环计算斐波那契数列，通过两个临时变量pre和post保存中间结果，避免重复计算

 for(int i=2;i<=n;i++)

 {

 fn=pre+post;//fn等于其前面两个元素值的和

 //然后让pre和post分别直线他们后面的元素。

 pre=post;

 post=fn;

 }

 return fn;

 }

}