平衡二叉搜索树的实现原理

二叉搜索树的树高与性能

前面笔者介绍了二叉搜索树的实现和性能分析,查询，插入和删除等操作均线性正比于二叉树的高度。在最坏的情况下,线性表退化为列表，二叉搜索树的性能会降低至O(n)。因此，如果能控制树高，则二叉搜索树的性能会明显提升

理想平衡与适度平衡

理想平衡

既然二叉搜索树的性能主要影响与树高，则应该在节点数目固定的前提下，尽可能降低树高。也意味着，应尽可能地使兄弟子树的高度彼此接近，即全树尽可能的平衡。当然根据二叉树的特性，规模为n的二叉树，高度不可能小于log以2为底n的对数。如果高度为log以2为底n的对数的平衡二叉树，则称为理想平衡树。完全二叉树，满二叉树均属于理想平衡树。

适度平衡

理想平衡的条件过于严格，在实际中意义不大，因为出现的概率实现太小了。因此有必要定制一种规则，限制两个兄弟子树的高度差在一定的范围内。满足这个限制条件则为平衡二叉树。例如：AVL树，伸展树，红黑树，kd-树都属于适度平衡树。因此均属于平衡二叉搜索树

二叉搜索树到平衡二叉搜索树的等价变化

如果两个二叉搜索树的中序遍历是一致的，则他们彼此等价。如下图所示：

可以看出，虽然二叉搜索树中各节点的垂直高度有所不同，但水平次序完全一致。这一特