算法系列—快速排序及其优化（递归）

快速排序和归并排序是互补的，归并排序将子数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并以将整个数组排序。而快速排序则是当两个子数组有序时整个数组也就自然有序了。

归并排序：递归调用发生在整个数组处理之前，一个数组被等分为两半。

快速排序：递归调用发生在处理整个数组之后，切分的位置取决于数组的内容。

初步实现如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

void sort(int A[], int lo, int hi);
int partition(int A[], int lo, int hi);

void QuickSort(int A[], int size)
{
	std::random_shuffle(A, A + size - 1);	//打乱数组
	sort(A, 0, size - 1);
}

void sort(int A[],int lo,int hi)
{
	if (lo >= hi)
		return;
	int j=partition(A, lo, hi);
	sort(A, lo, j - 1);
	sort(A, j + 1, hi);
}

int partition(int A[],int lo,int hi)
{
	//将数组切分为A[lo...i-1],A[i],A[i+1...hi]
	int i = lo, j = hi + 1; //扫描指针
	int a = A[lo];	//切分元素
	while(true)
	{
		while (A[++i] < a);	//左侧元素小于切分元素则继续比较下一个
		while (A[--j] > a);	//右侧元素大于切分元素则比较下一个
		if (i > j)	//当两个指针相遇
			break;
		std::swap(A[i], A[j]);
	}
	std::swap(A[lo], A[j]);	//扫描指针相遇后将切分元素放入正确位置
	return j;
}

int main()
{
	int A[] = { 1,4,6,4,7,4,10,50,88,2,33,56,3,345,66,67,4 };
	QuickSort(A, sizeof(A) / 4);
	for (auto a : A)
	{
		std::cout << a << " ";
	}
}

random_shuffle()打乱数组的目的：快速排序在切分不平衡时程序可能会极为低效，比如第一次从第一小的元素开始切分，第二次从第二小的元素开始切分。。在快速排序前将数组打乱就是为了避免这种情况。

算法改进：

（1）对于小数组，快速排序比插入排序慢，因此排序小数组时切换到插入排序

将sort中的语句if(hi<=lo) return; 

改为

if(hi<=lo+M)

{

//插入排序

return;

}

（2）三取样切分

实际应用中常会出现大量重复元素的数组，一个简单的方法是将数组切分为三部分，分别小于，等于和大于切分元素。

思路：从左到右遍历数组一次，维护一个指针lt使得A[lo...lt-1]中的元素都小于切分元素。一个指针gt，使得A[gt+1...hi]中的元素都大于切分元素。一个指针i使得A[lt...i-1]中的元素都等于切分元素，A[i...gt]中的元素还不确定。

比较时：

A[i]小于切分元素，将A[lt]和A[i]交换，lt和i加一

A[i]大于切分元素，将A[gt]和A[i]交换，gt减一

A[i]等于切分元素，将i加一.。

三取样切分的快速排序如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

void sort(int A[], int lo, int hi);

void QuickSort(int A[], int size)
{
	std::random_shuffle(A, A + size - 1);	//打乱数组
	sort(A, 0, size - 1);
}

void sort(int A[], int lo, int hi)
{
	if (lo >= hi)  //如果越界
		return;
	int lt = lo, i = lo + 1, gt = hi;
	int v = A[lo];	//切分元素
	while (i <= gt)
	{
		if (A[i] < v)
			std::swap(A[i++], A[lt++]);
		else if (A[i] == v)
			i++;
		else {
			std::swap(A[i], A[gt--]);
		}
	}
	//
	sort(A, lo, lt - 1);
	sort(A, gt + 1, hi);
}

int main()
{
	int A[] = { 1,4,6,4,7,4,10,50,88,2,33,56,3,345,66,67,4 };
	QuickSort(A, sizeof(A) / 4);
	for (auto a : A)
	{
		std::cout << a << " ";
	}
}