【AtCoder2306】Rearranging（拓扑）

最新推荐文章于 2022-04-10 23:42:03 发布

CaptainHarryChen

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分类专栏： OI题解图论文章标签： AtCoder

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本文探讨了在A和B两人游戏中，如何通过最优策略构建字典序最小的数列。A通过初始排列，B通过交换互质数，共同决定最终序列。文章详细介绍了算法流程，包括预处理、构建有向图和利用优先队列求拓扑序。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

黑板上有n个数，A首先按照自己的意愿将n个数重新排列(可以是原来的顺序),然后让B进行如下操作:
选择一对相邻且互质的数,交换它们的位置.(这个操作B可以进行无数次.)
A想要这个序列的字典序尽可能小,而B想要这个序列的字典序尽可能大。
两人都采取最优策略的情况下,最后形成的序列是什么样子的.

题解

发现不互质的数，只要在一开始A放好后，顺序就固定下来，无法改变。
为了使得字典序最小，我们对每个数u，向最小的没被访问过的与它不互质的数v连一条边，表示u保证在v之前，为了使得字典序最小，必须保证每个点的入度为1，如图

如果这样连边，可以构造出{3,2,4,6}

显然没有这样连边更优，保证了2一定在最前面

实现时，预处理处每个数与哪些数不互质，然后dfs，对每个数优先向小的数连边，建成树状的有向图。然后利用优先队列求字典序最大的拓扑序。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=2005;

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int n,A[MAXN];
bool vis[MAXN];
vector<int> adj[MAXN],adj2[MAXN];
int deg[MAXN],ans[MAXN];
priority_queue<int> Q;

void dfs(int u)
{
	vis[u]=true;
	for(int i=0;i<(int)adj[u].size();i++)
	{
		int v=adj[u][i];
		if(vis[v])
			continue;
		adj2[u].push_back(v);
		deg[v]++;
		dfs(v);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&A[i]);
	sort(A+1,A+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j&&gcd(A[i],A[j])>1)
				adj[i].push_back(j);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
			dfs(i);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(deg[i]==0)
			Q.push(i);
	int it=0;
	while(!Q.empty())
	{
		int u=Q.top();
		ans[++it]=A[u];
		Q.pop();
		for(int i=0;i<(int)adj2[u].size();i++)
		{
			int v=adj2[u][i];
			deg[v]--;
			if(deg[v]==0)
				Q.push(v);
		}
	}
	
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",ans[i]);
	printf("%d\n",ans[n]);
	
	return 0;
}