本文不证正确概率,因为我不会
判断大整数是否为质数
前提定理
- 费马小定理:若 nn为质数,,则 an−1≡1 (mod n)an−1≡1 (mod n);若任意整数xx满足,则xx有很大概率为质数;
- 定理2:若为大于2的质数,则a2≡1 (mod p)a2≡1 (mod p)的解只能为a≡1a≡1或a≡−1a≡−1;
Rabin-Miller素数测试
若待测数nn为大于2的质数,则为偶数
设n−1=2s×dn−1=2s×d
随机一个小于nn的整数
a2s×d≡1 (mod n)a2s×d≡1 (mod n)
(a2s−1×d)2≡1 (mod n)(a2s−1×d)2≡1 (mod n)
a2s−1×d≡1 (mod n)a2s−1×d≡1 (mod n)或a2s−1×d≡−1 (mod n)a2s−1×d≡−1 (mod n)
若为1,还可以继续递归,直到得到-1或者得到 ad≡±1 (mod n)ad≡±1 (mod n)
实现时,要倒着来
首先计算出adad,判断其是否为±1±1
然后不停的平方,得到a2×d,a22×d,a23×d...a2s×da2×d,a22×d,a23×d...a2s×d
直到中途某一步得到了−1−1,则通过测试。
如果中途在得到-1之前,得到了1,则说明该数通过某一个不等于±1的数平方得到了1,不满足定理2,则该数测试不通过
一般都要随机取很多aa,测试多次才能提高概率。
但是在OI中,用这一串a就行了
它保证3,825,123,056,546,413,0513,825,123,056,546,413,051以内的数计算正确(已经超过long long)
代码
版题:HDU2138
#include<cstdio>
const int TEST_VAL[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41},TEST_NUM=13;
long long PowMod(long long a,long long b,long long p)
{
long long res=1LL;
while(b)
{
if(b&1LL)
res=1LL*res*a%p;
a=1LL*a*a%p;
b>>=1LL;
}
return res;
}
bool MillerRabin(long long a,long long n,long long d)
{
long long x=PowMod(a,d,n);
if(x==1||x==n-1)
return true;
while(d<n-1)
{
x=1LL*x*x%n;
d=d*2LL;
if(x==1)
return false;
if(x==n-1)
return true;
}
return false;
}
bool isPrime(long long x)
{
if(x<10)
{
if(x==2||x==3||x==5||x==7)
return true;
return false;
}
long long d=x-1;
while((d&1LL)==0)
d>>=1LL;
for(int i=0;i<TEST_NUM;i++)
if(TEST_VAL[i]<x&&!MillerRabin(TEST_VAL[i],x,d))
return false;
return true;
}
int main()
{
int n,ans;
long long x;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
ans=0;
while(n--)
{
scanf("%I64d",&x);
ans+=isPrime(x);
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}