Rabin-Miller素数测试

本文不证正确概率因为我不会
判断大整数是否为质数

前提定理

  1. 费马小定理:若 nn为质数,a<n,则 an11 (mod n)an−1≡1 (mod n);若任意整数xx满足ax11 (mod x),则xx有很大概率为质数;
  2. 定理2:若p为大于2的质数,则a21 (mod p)a2≡1 (mod p)的解只能为a1a≡1a1a≡−1

Rabin-Miller素数测试

若待测数nn为大于2的质数,则n1为偶数
n1=2s×dn−1=2s×d
随机一个小于nn的整数a
a2s×d1 (mod n)a2s×d≡1 (mod n)
(a2s1×d)21 (mod n)(a2s−1×d)2≡1 (mod n)
a2s1×d1 (mod n)a2s−1×d≡1 (mod n)a2s1×d1 (mod n)a2s−1×d≡−1 (mod n)
若为1,还可以继续递归,直到得到-1或者得到 ad±1 (mod n)ad≡±1 (mod n)

实现时,要倒着来
首先计算出adad,判断其是否为±1±1
然后不停的平方,得到a2×d,a22×d,a23×d...a2s×da2×d,a22×d,a23×d...a2s×d
直到中途某一步得到了1−1,则通过测试。
如果中途在得到-1之前,得到了1,则说明该数通过某一个不等于±1的数平方得到了1,不满足定理2,则该数测试不通过

一般都要随机取很多aa,测试多次才能提高概率。

但是在OI中,用这一串a就行了
{2,3,5,7,11,13,17,19,23}
它保证3,825,123,056,546,413,0513,825,123,056,546,413,051以内的数计算正确(已经超过long long)

代码

版题:HDU2138

#include<cstdio>
const int TEST_VAL[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41},TEST_NUM=13;

long long PowMod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=1LL*res*a%p;
        a=1LL*a*a%p;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}

bool MillerRabin(long long a,long long n,long long d)
{
    long long x=PowMod(a,d,n);
    if(x==1||x==n-1)
        return true;
    while(d<n-1)
    {
        x=1LL*x*x%n;
        d=d*2LL;
        if(x==1)
            return false;
        if(x==n-1)
            return true;
    }
    return false;
}
bool isPrime(long long x)
{
    if(x<10)
    {
        if(x==2||x==3||x==5||x==7)
            return true;
        return false;
    }
    long long d=x-1;
    while((d&1LL)==0)
        d>>=1LL;
    for(int i=0;i<TEST_NUM;i++)
        if(TEST_VAL[i]<x&&!MillerRabin(TEST_VAL[i],x,d))
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n,ans;
    long long x;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&x);
            ans+=isPrime(x);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}
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