LeetCode 69. Sqrt(x) 解题报告

LeetCode 69. Sqrt(x) 解题报告

题目描述

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

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示例

没有给出。

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限制条件

没有明确给出。

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解题思路

这道题很虐心，我首先用的是牛顿迭代法解题，但是一直在2147395600和214739599这两个数出问题，于是改成用二分法，然而，还是载在这两个数据上，通过艰苦卓绝地debug调试才终于过了，下面分别讲解这两种解法，并贴出AC的代码。

二分法：
二分法就是不断更新结果所属的上界和下界来逼近结果，比如求9的平方根，一开始设置结果的界限为[0, 9]，中间点取整后是4（$\lceil (0 + 9) \div 2 \rceil = 4$），因为${4 ^ 2= 16 > 9}$，表示上界可以更新为4，此时界限为[0, 4]，中间点取整后2（$\lceil (0 + 4) \div 2 \rceil = 2$），因为${2 ^ 2= 4 < 9}$，证明下界可以更新为2，所以界限为[2,4]，不断重复上述步骤，最后会得到接近或等于9的平方根的结果。

具体实现中需要根据题目调整参数，比如数据类型需要为long long，循环的结束条件是low > high以及返回的是(low + high) / 2。请见下面代码1.

牛顿迭代法：
牛顿迭代法同样是通过迭代来逼近结果的解法。它将求平方根的问题转化为求$f(x) = x^2-a（其中a是待求平方根的数）与x轴交点$，显而易见，$x= \sqrt a$就是其中一个解。对$f(x)$求导，得到$f'(x) = 2x$，表明$f(x)曲线上的每一点的切线斜率是2x$。

接下来结合下图对迭代过程进行讲解：

首先假设一个解为$x_i$，对应的就是$f(x_i)$，当然这个解不是结果，所以需要寻找下一个更靠近结果的点$x_{i+1}$，而寻找$x_{i+1}$的一个简单方法就是在$(x_i, f(x_i))$处作切线，取切线与$x$轴的交点。
由于$(x_i, f(x_i))和(x_{i + 1}, 0))$均位于斜率为$2x_i$的切线上，所以通过$\frac{{0 - f(x_i)}}{x_{i + 1} - x_i} = 2x_i$得到

$$x_{i + 1} = x_i +\frac{{- f(x_i)}}{2x_i} = x_i +\frac{-{x_i}^2 + a}{2x_i} = \frac{x_i}{2} + \frac{a}{2x_i}$$
上式得到就是递推的公式，不断使用该公式得到$x$直到$x^2$小于等于。

下面贴出来的牛顿迭代法代码是大神的解答代码，真是简洁优雅。

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代码

二分法

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x < 2)
            return x;

        long long low = 0, high = x, result = 0;

        while(high >= low) {
            result = (low + high) / 2;

            if (result * result > x)
                high = result - 1;
            else if (result * result < x)
                low = result + 1;
            else
                break;
        }

        return (low + high) / 2;
    }
};

牛顿迭代法

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long r = x;

        while (r * r > x)
            r = (r + x / r) / 2;

        return r;
    }
};

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总结

这道题花了很长时间，以前我不知道求平方根有二分法和牛顿迭代法，所以花了时间去理解这两种算法，原理很容易理解，但是实现时却出现了各种问题，需要耐心调试。
通过这道题我学会了牛顿迭代法，并知道了二分法的另一个应用，感觉收获很大，下周继续加油~