题意:给出三片点,第一片点是红色,第二片是蓝色,第三片是紫色。现在要求你往上边加一些边,得到一个合法方案是:同颜色的两个点,要么不可达,要么最短路长度>=3。求出所有合法方案数。
题解:显然三种颜色,最短路>=3,肯定这里面有猫腻,首先显然,两个相同颜色的点不能连边,那么我们考虑一下这个最短路>=3是怎么来的。每个点只能直接连接到不同颜色的点,而这个不同颜色的点不能再连第二条边到颜色1的点了,这样就形成了长度为2 的道路。也就是说,值考虑两种颜色的时候,每个点的度<=1。长度为3的道路是:颜色1的点->颜色2的点->颜色3的点->颜色1的点。
因此我们只需要单独考虑3次:蓝红之间方案数*蓝紫方案数*红紫方案数。
单独考虑两种颜色的时候,我们发现,每个点的度<=1,那么设这两种颜色的点分别有x、y个(x<=y),那么最多只能有x条边,当有一条边的时候,x个点中选取一个点,y中选取一个点连接,那么方案数是:C(x,1)*A(y,1) (x中选出来点,按照从小到大排列(假设每个点有标号),然后从y中取排列,来和他们对应),两条边:C(x,2)*A(y,2)……这样一来,就吧这个题切了。
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 5050;
const int MOD = 998244353;
LL ans;
LL C[maxn][maxn];
int a,b,c;
void init(){
C[1][0]=C[1][1]=1;
for (int i=2;i<maxn;i++){
C[i][0]=C[i][i]=1;
for (int j=1;j<i;j++){
C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
C[i][j]%=MOD;
}
}
}
LL calc(int x,int y){
if (x>y){
swap(x,y);
}
LL res =1;
LL basx=1;
LL basy=1;
for (int i=1;i<=x;i++){
basx = C[x][i];
basy*=(y-i+1);
basx%=MOD;
basy%=MOD;
res+=basx*basy%MOD;
res%=MOD;
}
return res;
}
int main(){
init();
cin>>a>>b>>c;
ans = calc(a,c)*calc(a,b)%MOD*calc(b,c)%MOD;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}