5、信息论中的信道容量与编码定理

信息论中的信道容量与编码定理

在信息论领域，编码定理的证明是一个核心问题，它主要分为直接编码定理和逆定理两部分。

1. 编码定理的证明

证明编码定理通常包含两个关键部分：
- 直接编码定理 ：为信息处理任务提供一种能达到给定速率的编码方案。例如，若压缩速率大于信源的熵，就存在一种编码方案可实现无损数据压缩，使错误解码的概率任意小。证明此定理常借助典型序列和大码块的思想，这与随机数据序列在长度变长时的渐近均匀划分性质相关。
- 逆定理 ：证明直接编码定理中的速率是最优的，即无法超越该速率。若存在一种编码方案能以任意小的解码错误概率实现无损数据压缩，那么压缩速率必然大于信源的熵。逆定理的证明依赖于信息不等式，这些不等式能对编码构造中出现的熵量给出严格界限。

在证明过程中，有时人们可能会认为在证明直接编码定理时找到了信息处理任务的最优速率，但如果没有相应的逆定理，就无法确定该速率是否真的最优。所以，逆定理的证明至关重要。

2. 噪声经典信道中的信息传输

接下来探讨噪声经典信道中的信息传输问题，以噪声比特翻转信道传输单个比特信息为例。

2.1 纠错码示例

假设发送方 Alice 和接收方 Bob 通过噪声经典信道连接，信息传输不可靠。他们希望在使用该信道时，最大化 Alice 能可靠传达给 Bob 的信息量，可靠通信意味着传输信息时的错误概率可忽略不计。

最简单的噪声经典信道是比特翻转信道（二进制对称信道），它以概率 $p$ 翻转输入比特，以概率 $1 - p$ 保持输入比特不变。Ali